Na análise de séries temporais, a suposição básica é que há um sistema causal mais ou menos constante, relacionado com o tempo, cuja influência sobre os dados no passado pode continuar no futuro. No tipo mais simples de série temporal, os valores da série flutuam aleatoriamente em torno de um valor fixo, sem apresentar qualquer tendência. Um modelo razoável para uma série desse tipo é \( Z_t = μ + e_i \) onde \( Z_i \) representa os valores da série, \( μ \) é o valor em torno do qual os valores flutuam e \( e_i \) são os erros aleatórios. O método da suavização exponencial é uma forma de estimar \( μ \) . Consiste em supor que \( μ \) é uma média ponderada dos valores passados da série. Assinale a alternativa que matematicamente representa tal método. ( \( \alpha \) constante de suavização 0< \( \alpha \)<1).

Os limites de controle em gráficos de controle de qualidade, nos EUA, são determinados como um múltiplo do desvio-padrão, em geral 3 desvios-padrão. Assim sendo, os limites 3 sigmas são normalmente empregados em gráficos de controle. Utilizando esse procedimento, obtenha a linha média e os limites de controle para os dados da seguinte amostra, os quais representam o número de queijos, produzido em uma indústria de pequeno porte, que apresenta peso inferior a 500 g após 3 dias de fabricação. Considere que, da produção, foram selecionados, diáriamente, 200 queijos durante 10 dias e guardados por 3 dias. Após esse período, eles foram pesados e classificados. Segue o número de queijos com pesos inferiores nos 10 dias observados: 13, 8, 10, 15, 12, 9, 6, 4, 12, 7.

Os valores que seguem representam a quantidade, em quilogramas, de tomates colhidos em 8 parcelas de uma plantação.

289; 243; 232; 210; 210; 224; 239; 244.

O produtor deseja descrever sua produção utilizando as medidas descritivas de posição. Assinale a alternativa que apresenta tais medidas.

Um modelo de regressão linear simples, formalmente, pode ser representado por: \( Y_i = \alpha + \beta x_i + e_i \), i=1, 2, ..., n, em que Y é uma variável, aleatória, resposta dependente de X que é uma variável independente, \( \alpha \) e \( \beta \) são os parâmetros do modelo e \( e_i \) são os erros aleatórios. Os estimadores de mínimos quadrados de \( \alpha \) e \( \beta \) são denotados por \( \widehat \alpha \) e \( \widehat \beta. \) Assinale a alternativa que representa a variância de \( \widehat \alpha \).

Na estimação pelo método de máxima verossimilhança, geralmente, o método de Newton-Rapson é utilizado para encontrar as estimativas dos parâmetros. X é uma variável aleatória definida sob um espaço de probabilidade \( (Ω , σ , P) \) com \( x ∈ Ω \) e função de densidade de probabilidade \( f (x; θ) \), onde \( θ ∈ R ; X = (x_1,x_2, ..., x_n) \) é uma amostra aleatória de X e \( \mathcal L (θ | X) = \textstyle \prod_{i=1}^n f (x_1, θ) \)a função de verossimilhança. Suponha que a estimativa de máxima verossimilhança de \( θ \) , \( \widehatθ \) , satisfaz \( { \large ∂ \over ∂ \widehat θ} \mathcal ln \mathcal L (\widehat θ | X) = 0. \) Sendo \( \widehat θ \) a estimativa de \( θ \) após a iteração k do algoritmo, então:

Um experimento é feito com o objetivo de comparar o efeito de três diferentes tratamentos com fertilizantes na produção de milho. Os tratamentos foram aplicados em 13 parcelas para uma mesma variedade de milho. Na tabela seguinte, está a análise de variância dos resultados.