Quaisquer dois números inteiros !$ x !$ e !$ y !$ estão relacionados segundo a relação !$ R\ !$ se a diferença !$ x !$−!$ y !$ for um número par, isto é, !$ x !$ !$ R\ !$ !$ y !$ se, e somente se, !$ x !$−!$ y !$ é um número par.

Para ser uma relação de equivalência !$ R\ !$ deve ser:

No Colégio Dom Pedro II, há 126 alunos na turma do 1º ano do Ensino Médio, 162 no 2º ano e 72 no 3ºano. Na semana da Família, todos esses alunos serão organizados em grupos com o mesmo número de elementos, sem que se misturem alunos de séries diferentes. Determine o número máximo de alunos que pode haver em cada grupo.

Considerando que:

B∪C={2, 3, 4, 5, 10, 12, 14, 16}, B∩C={8, 10} e B−C={2, 4, 6}, determine o conjunto C.

Os pontos !$ F !$,!$ G !$,!$ H !$ e !$ I !$são vértices de um quadrado de lado 12 cm. Suponha que a circunferência!$ \varphi !$passe pelos pontos!$ H !$ e !$ I !$, que formam o lado !$ \dfrac{ }{HI} !$ do quadrado, e seja tangente, no ponto !$ P !$, ao lado oposto !$ \dfrac{ }{FG} !$ . Qual a área do triângulo cujos vértices são!$ H !$,!$ I !$ e !$ P !$.

Um quadrado circunscrito a um círculo tem lado igual a !$ 1 !$!$ 6 !$√!$ 3 !$cm. Determine o perímetro do triângulo equilátero inscrito nesse mesmo círculo.

Sejam as matrizes !$ c=[\dfrac{1\ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ 1/4\ \ \ \ -1}{\dfrac{\dfrac{-4\ \ \ \ \ \ \ \ 7\ \ \ \ \ \ 4\ \ \ \ \ \ \ \ -5}{1\ \ \ \ \ \ \ \ -1\ \ \ \ \ \ \ \ 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ 1}}{-7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ 2/3\ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ }}] !$ e !$ D=[\dfrac{1\ \ \ \ \ \ \ 5\ \ \ \ -1/4\ \ \ \ 1}{\dfrac{\dfrac{1\ \ \ \ \ \ \ \ -4\ \ \ \ \ \ -4\ \ \ \ \ \ \ \ 5}{-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ 1}}{7\ \ \ \ \ \ -\ 1\ \ \ \ \ \ \ 1/4\ \ \ \ \ \ 7\ \ \ \ }}] !$ Determine o elemento !$ e !$_{!$ 3 !$!$ 2 !$} da matriz !$ E !$=(!$ C !$+!$ D !$).

Obtenha a equação do 2º grau, cujas raízes são o quádruplo das raízes da equação !$ 5 !$!$ x !$^{!$ 2 !$}+!$ 9 !$!$ x !$+!$ 5 !$=!$ 0 !$.

Simplificando a expressão numérica !$ \dfrac{2^{a+4}-2\cdot2^a}{2^{a+4}} !$ obtém-se:

Os ângulos do !$ ▲ !$ DEF estão em ordem de grandeza crescente. Sabe-se que a diferença entre o segundo e o primeiro é igual a diferença entre o terceiro e o segundo e, o menor deles é igual a 3⁄₅ do maior, determine os ângulos !$ a !$,!$ b !$ e !$ c !$ desse triângulo.

Sejam !$ \alpha !$ e !$ \beta !$ as raízes da equação !$ x !$^{!$ 2 !$}−!$ 3 !$!$ b !$!$ x !$+!$ b !$^{!$ 2 !$}=!$ 0 !$ tais que !$ \alpha !$^{!$ 2 !$}+!$ \beta !$^{!$ 2 !$}=!$ 1 !$,!$ 6 !$!$ 1 !$. Qual o valor de !$ b !$^{!$ 2 !$}?