A fim de estimar a probabilidade θ de sucesso em uma população X ~ Bernoulli (θ), foi conduzido o seguinte experimento em duas etapas: inicialmente, observou -se uma amostra aleatória X1, … , Xn, de tamanho n e, em seguida, observou-se uma nova amostra aleatória !$ X_{ n + 1}, \cdots, X_{n +m} !$, de tamanho m, independentemente da primeira amostra. Suponha que os seguintes estimadores estão sendo propostos para θ:
!$ \hat{ \theta}_1 = { \large 1 \over n} \sum_{i =1}^n X_i^2 !$ e !$ \hat{ \theta}_2 = { \large 1 \over 2} { \begin{pmatrix} { \large 1 \over n} \sum_{ i =1}^n X_i + { \large 1 \over m} \sum_{ i = n+ 1}^{n + m} X_i \end{pmatrix}} !$ Uma das propriedades desejáveis de um estimador é que ele tenha um erro quadrático médio pequeno. O estimador !$ \hat{ \theta}_2 !$ terá erro quadrático médio menor que o estimador !$ \hat{ \theta}_2 !$ terá erro quadrático médio menor que o estimador !$ \hat{ \theta}_1 !$ se, e somente se:
