Um pesquisador deseja estimar o seguinte modelo:

\( (1) Y=\beta_0+\beta_1Z+u \),

Esse modelo satisfaz as seguintes condições: \( E[u \mid Z]=0 \) e \( Var[u \mid Z]= σ^2 \). No entanto, a variável Z não é observada. O pesquisador decide, então, estimar o modelo de regressão linear representado pela equação (2) usando o método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO).

\( (2)Y=a_0+a_1X+ε \),

A variável X está relacionada da seguinte maneira com a variável não observada Z:

\( (3) X=Z+w \),

onde \( w \) tem média zero e variância \( σ^2_w \). Além disso, \( w \) é distribuído de maneira independente de \( u \) e de \( Z \). Considere também que a variância populacional da variável não observada \( Z \) é igual a \( σ^2_Z \). Para estimar os parâmetros do modelo na equação (2), o pesquisador tem uma amostra aleatória da população com \( n \) observações \( \{(X_1,Y_i,S_i):i=1,2,...,n\} \), onde S é uma variável correlacionada com X. Julgue a afirmativa abaixo se é certo ou errado.

Item 3 - Definindo \( \hat{a}_0 \) como o estimador de MQO para \( a_0 \) na equação (2), podemos dizer que o limite em probabilidade de \( \hat{a}_0 \) é dado por:

\( plim \, \hat{a}_0=\beta_0+\beta_1 \left({\large{ σ^2_w \over σ^2_Z+σ^2_w}}\right) \bar{X} \), onde \( \bar{X}={\large{\sum_{i=1}^n X_i \over n}} \).