A lagrangiana que descreve um pião simétrico com um ponto fixo é dada por
!$ L=\dfrac{1}{2}I_1\biggl(\dfrac{dθ}{dt}\biggl)^2+\dfrac{1}{2}I_1\biggl(\dfrac{dΦ}{dt}\biggl)^2\,sen^2θ+\dfrac{1}{2}I_3\biggl(\dfrac{dψ}{dt}+\dfrac{dΦ}{dt}\,cos\,θ\biggl)^2 !$- mgl cos !$ θ !$, onde !$ θ !$, !$ Φ !$ e !$ ψ !$ são ângulos que dependem do tempo, !$ I !$1 e !$ I !$3 são os momentos de inércia do pião, !$ l !$ é a distância do centro de massa até o ponto fixo do pião, !$ m !$ é a massa do pião e g a aceleração da gravidade. Para esse sistema, serão conservadas as seguintes quantidades:
