Um levantamento será realizado a respeito de uma população normal N(μ, σ²), em que μ e σ² são, respectivamente, a média e a variância. Os parâmetros μ e σ² são desconhecidos. O coordenador do levantamento, sabendo da possibilidade de ocorrência de muitos valores atípicos (outliers) na amostra, contratou um consultor de estatística para auxiliá-lo. Considerando que uma amostra aleatória simples X₁, X₂,..., X_n será retirada dessa população, o consultor determinou que as três funções aleatórias seguintes são possíveis estimadores para μ.

!$ T_{1(n)}={\large{\sum\limits^{n}_{k=1} X_k\over n}},~T_{2(n)}=\large{(\sqrt{2})\sum\limits^{n}_{k=1} X_{k}w(X_k)\over n} !$ e !$ T_{3(n)}=\large{\sum\limits^{n}_{k=1} X_{k}h(X_k)\over\sum\limits^{n}_{k=1}h(X_k)}, !$

em que w(X_k) = exp{–(X_k – μ)² / 2σ²}, h(X_k) = exp{–(X_k – T₁)² / 2S²} e S² é a variância amostral.

Para avaliar a robustez do estimador T₃ na presença de dados atípicos, o consultor apresentou um experimento Monte Carlo com 5 mil replicações de amostras com n = 300 para cada uma das situações hipotéticas: N(10, 1), N(10, 10) e N(10, 100). Em seguida, dentro de cada situação, valores atípicos foram adicionados em cada amostra, da seguinte forma:

!$ \begin{cases}~~~~~ Y_{k,d} = X_k,~~~~~~\mathrm{se}~~ 1\le k\le200,\\Y_{k,d} = X_k + 5\sigma_d,~~~~ \mathrm{se}~~k>200, \end{cases} !$

em que σ_d é o desvio-padrão da distribuição na situação hipotética e d = 1, 2 ou 3. Finalmente, foram obtidas as realizações:

!$ T^*_{1(n)d}={\large{\sum\limits^{300}_{k=1} Y_{k,d}\over 300}} !$ e !$ T^*_{3(n)d}=\large{\sum\limits^{300}_{k=1} Y_{k,d}h(Y_{k,d})\over\sum\limits^{300}_{k=1}h(Y_{k,d})} !$

em que !$ h(Y_{k,d})=\mathsf{exp}\left \{\large{-(Y_{k,d}-T^*_{1(n)d})^2\over2S^2_d} \right \}. \quad !$

A tabela seguinte mostra as estimativas dos erros quadráticos médios (EQM) e das variâncias (VAR) dos estimadores.

		T * 1(n)d		T * 3(n)d
d	população	EQM	VAR	EQM	VAR
1	N(10, 1)	2,780	0,003	1,418	0,004
2	N(10, 10)	27,812	0,034	14,216	0,043
3	N(10, 100)	278,101	0,315	141,884	0,409

Considerando as informações acima, julgue o próximo item.

Considerando a amostra aleatória com presença de observações atípicas Y_1,d, Y_2,d,..., Y_300,d, o viés (ou vício) do estimador !$ T^*_{1(300)d} !$ é igual a !$ \large{5\sigma_d\over3} !$.