Considere o modelo de regressão linear múltipla com intercepto, da variável dependente Y sobre as p variáveis independentes (X
1, X
2, ..., X
p), na forma matricial:
E(Y) = X.
\( \beta \)
Utilizando uma amostra de tamanho n, obtemos o estimador dos mínimos quadrados ordinários
\( \hat{\beta} = (X^TX)^{-1}X^TY \). Os valores estimados de
\( Y, \hat{Y} = X\hat{\beta} \), podem ser expressos por meio de
\( \hat{Y} = X.(X^TX)^{-1}X^TY \). Fazendo
\( H = X.(X^TX)^{-1}X^T \), tem-se
\( \hat{Y} = H.Y \), sendo a matriz n x n, H, denominada matriz de projeção, isto é, a matriz que projeta o vetor das observações amostrais, Y, no espaço dos valores estimados
\( \hat{Y} \). Diante das considerações feitas acima, observe as afirmações a seguir.:
I - H é uma matriz idempotente.
II -
\( \sum_{i=1}^n h_{II} \) = rank(X) = p, onde
\( h_{ii} \) é o i
º elemento da diagonal da matriz H.
III - H.(I – H) = O, onde I é a matriz identidade e O, a matriz nula.
IV -
e = (I – H).Y, onde
e é o vetor dos resíduos amostrais.
Está correto o que se afirma em:
