A forma geométrica de algumas galáxias, como, por exemplo, a da Via Láctea, pode ser modelada, em escala, pela seguinte construção: no sistema de coordenadas cartesianas xOy, a espiral é formada por semicírculos cujos centros estão no eixo Ox. O primeiro semicírculo, D0, construído no semiplano y \( \le \) 0, tem o centro na origem e raio r0 = 1 m, como ilustra a figura I acima. O segundo semicírculo, D1, construído no semiplaon y \( \ge \) 0, com raio r1 > r0, é tal que as extremidades esquerdas dos semicírculos D0 e D1 coincidem (figura II). O semicírculo D2 é construído no semiplano y \( \le \) 0, com raio r2 > r1 e com a extremidade direita desse semicírculo coincidindo com a do semicírculo D1 (figura III). A construção da seqüência D3, ..., Dn de semicírculos prossegue dessa forma. Duas maneiras distintas de serem escolhidos os raios dos semi-círculos D1, D2, ..., Dn são definidas pelas condições a seguir.
Condição I: o raio de cada semicírculo é igual ao raio do semicírculo anterior acrescido de 1 m;
Condição II: o raio de cada semicírculo é igual ao dobro do raio do semicírculo anterior.
Com base nessas informações, e considerando que a unidade de medida dos eixos cartesianos é o metro, julgue os itens que se seguem.
Uma partícula que se move com velocidade angular constante \( ω \) sobre a espiral construída segundo a condição II terá, em cada instante t, a posição de sua projeção sobre o eixo Ox descrita pela expressão = x(t), = rencos(\( ω \) t - \( \pi \)), em que t é o tempo transcorrido desde o instante em que a partícula se encontrava no ponto inicial de D0 e rn é o raio do semicírculo Dn no qual a partícula se encontra no instante t.
