Problemas dependentes do tempo em mecânica quântica são, normalmente, difíceis de serem resolvidos de forma analítica fechada. Assim, em geral, procura-se por soluções aproximadas e métodos para analisar as características mais relevantes do sistema físico. Um desses métodos é a teoria de perturbações dependentes do tempo. Para um hamiltoniano !$ H(t) = H_0 + \lambda W(t) !$, em que !$ H_o !$ é o hamiltoniano não perturbado, !$ \lambda !$ é um parâmetro e !$ W(t) !$ é a perturbação, a probabilidade de transição entre um estado inicial !$ i !$ e um final !$ f !$ do sistema físico é dada pela expressão

!$ P_{if} (t) = \dfrac {\lambda^2} {\hbar^2} \Biggl | \int\limits_{0}^{t} e^{i \omega_\beta t} W_{fi} (t^\prime) dt^\prime \Biggr |^2 !$,

onde !$ \omega_{fi} = \dfrac {E_f - E_i} \hbar \text{ e } W_{fi} (t) = \langle \phi_f | W(t) | \phi_i \rangle !$, sendo !$ I \phi_i \rangle !$, !$ I \phi_f \rangle !$ os estados inicial e final, respectivamente. Considere o caso de um oscilador harmônico unidimensional com freqüência angular !$ \omega_0 !$ e carga elétrica !$ q !$ que está em seu estado fundamental no instante !$ t=0 !$ e é submetido a um campo elétrico de magnitude !$ W(t) = - \lambda x !$ durante um intervalo de tempo !$ \tau !$ (a partir de !$ t=0 !$). Assinale a opção que apresenta a expressão correta para a probabilidade de transição entre o estado fundamental e o primeiro estado excitado do oscilador.