Um modelo matemático associado a experimentos com um fator aleatório é

\( y_{ij}=\mu + \alpha_i +e_{ij} \)

onde:

\( \mu \) é a média geral de todas as observações;
\( \alpha_i \) é o efeito aleatório do i-ésimo nível na variável dependente;
\( e_{ij} \) é um erro casual não observável.

Supondo que \( \alpha_i \) e \( e_{ij} \), são independentes, que \( e_{ij} \) são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas normais com média zero e variância \( \sigma{^2_1} \), e que \( \alpha_i \) são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas normais com média zero e variância \( \sigma_2^2 \), então,