Uma equipe de pesquisa de mercado conduziu, durante vários meses, um levantamento para determinar a preferência dos consumidores em relação a duas marcas de detergentes, marca 1 e marca 2. Verificou-se, inicialmente, que, entre 200 pessoas pesquisadas, 120 usavam a marca 1 e 80, a marca 2. Com base no levantamento inicial, a equipe compilou a seguinte estatística:
a) 70% dos usuários da marca 1, em qualquer mês, continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 30% mudaram para a marca 2;
b) 80% dos usuários da marca 2, em qualquer mês, continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 20% mudaram para a marca 1.
Esses resultados podem ser expressos pela matriz !$ P = (p_{ij}) = { \begin{pmatrix} 0,7\,\,\,\,0,2\\0,3\,\,\,\,0,8 \end{pmatrix}} !$ , em que pij, !$ 1 \le i, j \le 2 !$ , representa a probabilidade do consumidor da marca j consumir a marca i após um mês, supondo-se que tais probabilidades sejam mantidas constantes de um mês para o outro. Dessa forma, obtém-se a fórmula de recorrência !$ X_{ K + 1} = PX_K,\,\,K \ge\,0 !$, em que !$ X_K = { \begin{pmatrix} a_K\\b_K \end{pmatrix}} !$ representa a distribuição, no mercado, ao final do mês k, dos usuários de cada detergente pesquisados; !$ a_K !$ e !$ b_K !$, representam os percentuais de usuários das marcas 1 e 2, respectivamente, no referido período.
Com base nessas informações, julgue o item.
Se !$ X_K = { \begin{pmatrix} \alpha\\\beta \end{pmatrix}} !$ é tal que !$ X_{ K + 1} = X_K !$, para algum !$ K \ge 0 !$, então !$ \alpha = 0,4 !$ e !$ \beta = 0,6 !$.
