Considere a aplicação !$ T : \mathbb{R} ^2 \rightarrow \mathbb {R} ^3 !$ definida por !$ T (x,y) = (ax,by,x + y) !$ onde !$ a,b ∈ \mathbb {R} !$ são constantes arbitrárias.
I. Se !$ A !$ é a matriz de !$ T !$ na base canônica do !$ \mathbb {R}^2, !$ então !$ ∀ a,b ∈ \mathbb {R} !$, !$ A^t A !$ é inversível.
II. Para todo !$ a, b ∈ \mathbb {R} !$, !$ T !$ é uma transformação linear sobrejetora.
III. Se !$ X (0,0) !$, !$ Y (1,0) !$ e !$ Z (0,1) !$ são vértices do triângulo !$ \alpha !$, a área de !$ T (\alpha) !$ vale !$ |a + b| !$.
IV. Existem !$ a, b ∈ \mathbb {R} !$ tais que a imagem de !$ T !$ é um plano passando na origem do !$ \mathbb {R}^3 !$.
Assinale a alternativa correta:
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