Considere os seguintes vetores:

!$ \vec{u} \, = \, \begin {bmatrix} a \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end {bmatrix}, \, \vec{v} \, = \, \begin {bmatrix} 0 \\ b \\ 0 \\ 0 \end {bmatrix}, \, \vec{w} \, = \, \begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ c \\ 0 \end {bmatrix}, \, \vec {t} \, = \, \begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ d \end {bmatrix}. !$

Sabendo que o conjunto !$ \{ \vec{u}, \, \vec {v}, \, \vec{w}, \, \vec {t} \} !$ é uma base para o !$ \mathbb{R}^4 !$, julgue as afirmativas a seguir.

I – A soma a + b + c + d pode ser nula.

II – A soma a + b + c + d pode ser não-nula.

III – A soma a + b + c + d não pode ser nula.

IV – O produto abcd pode ser nulo.

V – O produto abcd pode ser não-nulo.

VI – O produto abcd não pode ser nulo.

VII – a = b = c = d = 1.

VIII – a = b = c = d !$ \ne !$ 0.

IX – a !$ \ne !$ b !$ \ne !$ c !$ \ne !$ d !$ \ne !$ 0.

Quantas afirmações são verdadeiras?