Em um triângulo equilátero !$ ABC !$ de lado !$ 2 !$, considere os pontos !$ P !$, !$ M !$ e !$ N !$ pertencentes aos lados !$ \overline{AB} !$, !$ \overline{BC} !$ e !$ \overline{AC} !$, respectivamente, tais que
a) !$ P !$ é o ponto médio de !$ \overline{AB} !$;
b) !$ M !$ é o ponto médio de !$ \overline{BC} !$;
c) !$ PN !$ é a bissetriz do ângulo !$ A\hat{P}C !$.
Então, o comprimento do segmento !$ \overline{MN} !$ é igual a
