Considere o seguinte sistema de equações lineares de oferta e demanda de trabalho das mulheres casadas. Neste sistema, as duas variáveis endógenas, salário !$ (P) !$ e quantidade de horas trabalhadas !$ (Q) !$ são determinados pela educação !$ (X_1) !$, idade !$ (X_2) !$, número de filhos !$ (X_3) !$ e dois termos não-observáveis !$ (ε_{1i}, ε_{2i}) !$.

Demanda: !$ Q_i=\alpha_1P_i+\alpha_2X_{2i}+\alpha_3X_{3i}+ε_{1i} !$

Oferta: !$ P_i=\alpha_4 Q_i+\alpha_5 X_{1i}+\alpha_6 X_{2i}+ ε_{2i} !$

Temos uma amostra aleatória de N mulheres, !$ (Q_i,P_i,X_{1i},X_{2i},X_{3i}) !$, !$ i=1, \cdots, N !$. Vamos assumir que a matriz !$ X=[X_1,X_2,X_3] !$ tem posto completo. Julgue o seguinte item:

Item 3 - Assumindo que !$ E[\varepsilon_{1i} \mid X_{1i}, X_{2i}, X_{3i}]=0 !$ e !$ E[\varepsilon_{2i} \mid X_{1i}, X_{2i}, X_{3i}]=0 !$, estimamos o sistema abaixo por mínimos quadrados ordinários aplicados equação por equação, isto é, estimamos separadamente a equação de oferta e a equação de demanda por mínimos quadrados.

!$ P_i=\phi_1 X_{1i}+\phi_2 X_{2i}+\phi_3 X_{3i}+\vartheta_{2i} !$

!$ Q_i=\phi_4 X_{1i}+\phi_5 X_{2i}+\phi_6 X_{3i}+\vartheta_{1i} !$

onde !$ \phi_1={\large{\alpha_5 \over 1- \alpha_4 \alpha_1}} !$, !$ \phi_2={\large{\alpha_2 \alpha_4+\alpha_6 \over 1- \alpha_4 \alpha_1}} !$, !$ \phi_3={\large{\alpha_3 \alpha_4 \over 1-\alpha_4 \alpha_1}} !$, !$ \phi_4={\large{\alpha_1 \alpha_5 \over 1- \alpha_4 \alpha_1}} !$, !$ \phi_5={\large{\alpha_1 \alpha_6+ \alpha_2 \over 1- \alpha_4 \alpha_1}} !$, !$ \phi_6={\large{\alpha_3 \over 1- \alpha_4 \alpha_1}} !$, !$ \vartheta_{2i}=\alpha_4 \varepsilon_{1i}+\varepsilon_{2i} !$ e !$ \vartheta_{1i}= \varepsilon_{1i}+\alpha_1 \varepsilon_{2i} !$.

O estimador de mínimos quadrados para !$ \phi_5 !$ será não-viesado.