“A distribuição de Gumbel (máximos) é a distribuição extremal mais usada na análise de frequência de variáveis hidrológicas, com inúmeras aplicações na determinação de relações intensidade-duração-frequência de chuvas intensas e estudos de vazões de enchentes. A função de probabilidades acumuladas da distribuição de Gumbel é dada por

na qual: α presenta o parâmetro de escala e β o parâmetro de posição; de fato, β também é a moda de Y. A função densidade da distribuição de Gumbel é

!$ \large{f_Y(y)={1\over\alpha}.\mathsf{exp}\left [ -{y-\beta\over\alpha}-\mathsf{exp}(-{y-\beta\over\alpha}) \right ]. \quad} !$

O valor esperado, a variância e o coeficiente de assimetria de Y são, respectivamente:

E [Y] = β + 0,5772α;

V AR [Y] = σ _y² = !$ \large{\pi^{2}\alpha^{2}\over6} !$;

!$ \gamma !$ = 1,1396.

Observe, portanto, que a distribuição de Gumbel (máximos) possui um coeficiente de assimetria positivo e constante.”

Hidrologia estatística. / Mauro Naghettini; Éber José de Andrade Pinto. – Belo
Horizonte: CPRM, 2007.

As descargas máximas anuais em uma certa seção fluvial são descritas por uma distribuição de Gumbel (máximos) com parâmetros de posição β = 150 m³/s e escala α = 30 m³/s. Nessa seção fluvial, qual é a probabilidade de excedência do quantil de descarga máxima anual de 270 m³/s?

(*) Use as seguintes aproximações: