Suponha um modelo sob consideração que pode ser escrito como: Y = XB + ε, onde Y é um vetor de observações, X é uma matriz de forma conhecida, B é um vetor de parâmetros e ε é um vetor de erros não correlacionados, E[ε] = 0. Nesse caso, avalie as afirmativas a seguir:

I – A solução das equações normais podem ser escritas como: b = (X^tX)^-1 X^tY (X^t representa a transposta de X)

II – Essa solução b é uma estimativa de B que minimiza a soma dos quadrados dos erros.

III – Os elementos do vetor b são funções lineares das observações Y’s e são estimativas não tendenciosas de variâncias uniformemente mínimas dos respectivos elementos de B.

IV - Se os erros são independentes e normalmente distribuídos, todos com mesma variância, então b é o estimador de máxima verossimilhança de B.

Estão corretas as afirmativas:

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X tem o seguinte gráfico:

X tem a seguinte distribuição de probabilidades:

Uma amostra aleatória simples de tamanho 4 foi obtida de uma distribuição normal com média e variância desconhecidas e revelou os seguintes dados:

2 3 4 3

Um intervalo de 95% de confiança para a média é dado aproximadamente por:

As estatísticas a seguir foram obtidas de observações realizadas em 100 indivíduos com relação a duas características X e Y.

!$ \sum \limits_{i=1}^{100} X_i = 248,\,\, \sum \limits_{i=1}^{100} y_i =-58,\,\, \sum \limits_{i=1}^{100} (X_i - \bar{X}) (y_i - \bar{y}) = 43,2\\ \sum \limits_{i=1}^{100} (X-i - \bar{X})^2 = 25,\,\, \sum \limits_{i=1}^{100} (y_j - \bar{y})^2 = 144 !$

O coeficiente de correlação amostral entre x e y é igual a:

Considere uma distribuição normal bivariada com coeficiente de correlação r e o coeficiente de correlação amostral r. A estatística z de Fisher, usada para testar a hipótese de correlação nula, é dada por:

No reino de Splock, 50% dos habitantes são Zsers. Se uma amostra aleatória simples de tamanho 1.600 for obtida, a probabilidade de que ao menos 862 sejam Zsers é aproximadamente igual a:

Um cientista prevê que certos organismos, que podem ser classificados em três tipos diferentes (A, B e C), ocorrem, respectivamente, com as seguintes proporções: 25%, 50% e 25%. Uma amostra aleatória simples de 1.000 organismos revelou as seguintes frequências de organismos A, B, e C, respectivamente: 300, 450 e 250. A estatística qui- quadrado usual para testar se a hipótese do cientista está correta é igual a:

Para testar uma hipótese nula de que não há diferença entre as medianas de duas distribuições contínuas (não há efeito de tratamento), pares de observações são obtidas de n indivíduos. Um critério possível é usar o teste de Wilcoxon de postos com sinal. Se não há empates, a média e a variância dessa estatística, quando a hipótese nula é verdadeira valem, respectivamente:

Considere o modelo linear Y_i = β₀ + β₁x_i + ei , E[ei] = 0, Var[e_i ] = σ² e suponha que as variáveis Yi sejam independentes duas a duas, ou seja, Y_i e Y_j são independentes, i ≠ j.

Os estimadores de !$ B_1 = { \Large { \sum (Y_i - \bar{Y}) (X_i - \bar{X}) \over \sum(X_i - X_2)^2}} !$ e !$ B_0 = \bar{Y} - B_1 \bar{x} !$ de !$ \beta_1 !$ e !$ \beta_0 !$ , respectivamente, têm então as seguintes propriedades:

I – são estimadores obtidos pelo método dos mínimos quadrados.

II – são os melhores estimadores não tendenciosos lineares.

III – são estimadores uniformemente mais potentes.

IV – são estimadores de máxima verossimilhança.

Estão corretas as propriedades:

Uma moeda honesta é lançada duas vezes. A probabilidade condicional de que ocorram duas caras dado que ao menos uma cara ocorre é igual a: