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Uma pesquisa foi realizada para avaliar a percepção dos eleitores a respeito de certo assunto em determinada cidade. Essa cidade possui 20 zonas eleitorais, que, em função de padrões socioeconômicos, foram classificadas em grupos A, B e C. Foram identificadas duas zonas no grupo A, 8 zonas no grupo B e 10 zonas no grupo C. Estudo anterior mostrou que a variabilidade das percepções dos eleitores dentro de cada grupo é significativamente menor que a variabilidade total. Para a seleção da amostra, foi estabelecido o seguinte plano:
► etapa I – de cada grupo, uma zona eleitoral é selecionada ao acaso;
► etapa II – de cada zona eleitoral selecionada, uma amostra aleatória simples de n eleitores é retirada;
► etapa III – cada eleitor i selecionado da zona j (i = 1, ..., n e j = 1, 2, 3) responde a um questionário. A partir das respostas desse eleitor, é calculada uma estatística Xij que mede a percepção desse eleitor sobre o assunto.
Por simplicidade, considera-se que o número de eleitores cadastrados em cada zona eleitoral seja grande o suficiente para a utilização de técnicas para amostras em grandes populações. Considera-se, também, que X1j, ..., Xnj seja uma amostra aleatória simples, retirada de uma população j, com distribuição normal com média θj e variância 1.
Tabela gerada pela função DIST.NORMP() do Excel.
A respeito da situação descrita no texto e com o auxílio da tabela normal padrão, julgue o item a seguir.
O processo de seleção da amostra descrito na etapa I é conhecido como amostragem por conglomerados.
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Um levantamento será realizado a respeito de uma população normal N(μ, σ2), em que μ e σ2 são, respectivamente, a média e a variância. Os parâmetros μ e σ2 são desconhecidos. O coordenador do levantamento, sabendo da possibilidade de ocorrência de muitos valores atípicos (outliers) na amostra, contratou um consultor de estatística para auxiliá-lo. Considerando que uma amostra aleatória simples X1, X2,..., Xn será retirada dessa população, o consultor determinou que as três funções aleatórias seguintes são possíveis estimadores para μ.
!$ T_{1(n)}={\large{\sum\limits^{n}_{k=1} X_k\over n}},~T_{2(n)}=\large{(\sqrt{2})\sum\limits^{n}_{k=1} X_{k}w(X_k)\over n} !$ e !$ T_{3(n)}=\large{\sum\limits^{n}_{k=1} X_{k}h(X_k)\over\sum\limits^{n}_{k=1}h(X_k)}, !$
em que w(Xk) = exp{–(Xk – μ)2 / 2σ2}, h(Xk) = exp{–(Xk – T1)2 / 2S2} e S2 é a variância amostral.
Para avaliar a robustez do estimador T3 na presença de dados atípicos, o consultor apresentou um experimento Monte Carlo com 5 mil replicações de amostras com n = 300 para cada uma das situações hipotéticas: N(10, 1), N(10, 10) e N(10, 100). Em seguida, dentro de cada situação, valores atípicos foram adicionados em cada amostra, da seguinte forma:
!$ \begin{cases}~~~~~ Y_{k,d} = X_k,~~~~~~\mathrm{se}~~ 1\le k\le200,\\Y_{k,d} = X_k + 5\sigma_d,~~~~ \mathrm{se}~~k>200, \end{cases} !$
em que σd é o desvio-padrão da distribuição na situação hipotética e d = 1, 2 ou 3. Finalmente, foram obtidas as realizações:
!$ T^*_{1(n)d}={\large{\sum\limits^{300}_{k=1} Y_{k,d}\over 300}} !$ e !$ T^*_{3(n)d}=\large{\sum\limits^{300}_{k=1} Y_{k,d}h(Y_{k,d})\over\sum\limits^{300}_{k=1}h(Y_{k,d})} !$
em que !$ h(Y_{k,d})=\mathsf{exp}\left \{\large{-(Y_{k,d}-T^*_{1(n)d})^2\over2S^2_d} \right \}. \quad !$
A tabela seguinte mostra as estimativas dos erros quadráticos médios (EQM) e das variâncias (VAR) dos estimadores.
| T * 1(n)d | T * 3(n)d | ||||
| d | população | EQM | VAR | EQM | VAR |
| 1 | N(10, 1) | 2,780 | 0,003 | 1,418 | 0,004 |
| 2 | N(10, 10) | 27,812 | 0,034 | 14,216 | 0,043 |
| 3 | N(10, 100) | 278,101 | 0,315 | 141,884 | 0,409 |
Considerando as informações acima, julgue o próximo item.
Considerando a amostra aleatória simples X1, X2,..., Xn , é correto afirmar que T1(n) é o estimador de máxima verossimilhança para a média μ.
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Um levantamento será realizado a respeito de uma população normal N(μ, σ2), em que μ e σ2 são, respectivamente, a média e a variância. Os parâmetros μ e σ2 são desconhecidos. O coordenador do levantamento, sabendo da possibilidade de ocorrência de muitos valores atípicos (outliers) na amostra, contratou um consultor de estatística para auxiliá-lo. Considerando que uma amostra aleatória simples X1, X2,..., Xn será retirada dessa população, o consultor determinou que as três funções aleatórias seguintes são possíveis estimadores para μ.
!$ T_{1(n)}={\large{\sum\limits^{n}_{k=1} X_k\over n}},~T_{2(n)}=\large{(\sqrt{2})\sum\limits^{n}_{k=1} X_{k}w(X_k)\over n} !$ e !$ T_{3(n)}=\large{\sum\limits^{n}_{k=1} X_{k}h(X_k)\over\sum\limits^{n}_{k=1}h(X_k)}, !$
em que w(Xk) = exp{–(Xk – μ)2 / 2σ2}, h(Xk) = exp{–(Xk – T1)2 / 2S2} e S2 é a variância amostral.
Para avaliar a robustez do estimador T3 na presença de dados atípicos, o consultor apresentou um experimento Monte Carlo com 5 mil replicações de amostras com n = 300 para cada uma das situações hipotéticas: N(10, 1), N(10, 10) e N(10, 100). Em seguida, dentro de cada situação, valores atípicos foram adicionados em cada amostra, da seguinte forma:
!$ \begin{cases}~~~~~ Y_{k,d} = X_k,~~~~~~\mathrm{se}~~ 1\le k\le200,\\Y_{k,d} = X_k + 5\sigma_d,~~~~ \mathrm{se}~~k>200, \end{cases} !$
em que σd é o desvio-padrão da distribuição na situação hipotética e d = 1, 2 ou 3. Finalmente, foram obtidas as realizações:
!$ T^*_{1(n)d}={\large{\sum\limits^{300}_{k=1} Y_{k,d}\over 300}} !$ e !$ T^*_{3(n)d}=\large{\sum\limits^{300}_{k=1} Y_{k,d}h(Y_{k,d})\over\sum\limits^{300}_{k=1}h(Y_{k,d})} !$
em que !$ h(Y_{k,d})=\mathsf{exp}\left \{\large{-(Y_{k,d}-T^*_{1(n)d})^2\over2S^2_d} \right \}. \quad !$
A tabela seguinte mostra as estimativas dos erros quadráticos médios (EQM) e das variâncias (VAR) dos estimadores.
| T * 1(n)d | T * 3(n)d | ||||
| d | população | EQM | VAR | EQM | VAR |
| 1 | N(10, 1) | 2,780 | 0,003 | 1,418 | 0,004 |
| 2 | N(10, 10) | 27,812 | 0,034 | 14,216 | 0,043 |
| 3 | N(10, 100) | 278,101 | 0,315 | 141,884 | 0,409 |
Considerando as informações acima, julgue o próximo item.
O procedimento utilizado pelo consultor para a estimação da distribuição amostral de !$ T^*~_{3(n)d} !$ pode ser corretamente denominado de bootstrap paramétrico.
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Um levantamento será realizado a respeito de uma população normal N(μ, σ2), em que μ e σ2 são, respectivamente, a média e a variância. Os parâmetros μ e σ2 são desconhecidos. O coordenador do levantamento, sabendo da possibilidade de ocorrência de muitos valores atípicos (outliers) na amostra, contratou um consultor de estatística para auxiliá-lo. Considerando que uma amostra aleatória simples X1, X2,..., Xn será retirada dessa população, o consultor determinou que as três funções aleatórias seguintes são possíveis estimadores para μ.
!$ T_{1(n)}={\large{\sum\limits^{n}_{k=1} X_k\over n}},~T_{2(n)}=\large{(\sqrt{2})\sum\limits^{n}_{k=1} X_{k}w(X_k)\over n} !$ e !$ T_{3(n)}=\large{\sum\limits^{n}_{k=1} X_{k}h(X_k)\over\sum\limits^{n}_{k=1}h(X_k)}, !$
em que w(Xk) = exp{–(Xk – μ)2 / 2σ2}, h(Xk) = exp{–(Xk – T1)2 / 2S2} e S2 é a variância amostral.
Para avaliar a robustez do estimador T3 na presença de dados atípicos, o consultor apresentou um experimento Monte Carlo com 5 mil replicações de amostras com n = 300 para cada uma das situações hipotéticas: N(10, 1), N(10, 10) e N(10, 100). Em seguida, dentro de cada situação, valores atípicos foram adicionados em cada amostra, da seguinte forma:
!$ \begin{cases}~~~~~ Y_{k,d} = X_k,~~~~~~\mathrm{se}~~ 1\le k\le200,\\Y_{k,d} = X_k + 5\sigma_d,~~~~ \mathrm{se}~~k>200, \end{cases} !$
em que σd é o desvio-padrão da distribuição na situação hipotética e d = 1, 2 ou 3. Finalmente, foram obtidas as realizações:
!$ T^*_{1(n)d}={\large{\sum\limits^{300}_{k=1} Y_{k,d}\over 300}} !$ e !$ T^*_{3(n)d}=\large{\sum\limits^{300}_{k=1} Y_{k,d}h(Y_{k,d})\over\sum\limits^{300}_{k=1}h(Y_{k,d})} !$
em que !$ h(Y_{k,d})=\mathsf{exp}\left \{\large{-(Y_{k,d}-T^*_{1(n)d})^2\over2S^2_d} \right \}. \quad !$
A tabela seguinte mostra as estimativas dos erros quadráticos médios (EQM) e das variâncias (VAR) dos estimadores.
| T * 1(n)d | T * 3(n)d | ||||
| d | população | EQM | VAR | EQM | VAR |
| 1 | N(10, 1) | 2,780 | 0,003 | 1,418 | 0,004 |
| 2 | N(10, 10) | 27,812 | 0,034 | 14,216 | 0,043 |
| 3 | N(10, 100) | 278,101 | 0,315 | 141,884 | 0,409 |
Considerando as informações acima, julgue o próximo item.
A estimativa Monte Carlo do erro padrão do estimador !$ T^*_{3(300)1} !$ é igual a !$ \sqrt{1,418} !$.
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Um levantamento será realizado a respeito de uma população normal N(μ, σ2), em que μ e σ2 são, respectivamente, a média e a variância. Os parâmetros μ e σ2 são desconhecidos. O coordenador do levantamento, sabendo da possibilidade de ocorrência de muitos valores atípicos (outliers) na amostra, contratou um consultor de estatística para auxiliá-lo. Considerando que uma amostra aleatória simples X1, X2,..., Xn será retirada dessa população, o consultor determinou que as três funções aleatórias seguintes são possíveis estimadores para μ.
!$ T_{1(n)}={\large{\sum\limits^{n}_{k=1} X_k\over n}},~T_{2(n)}=\large{(\sqrt{2})\sum\limits^{n}_{k=1} X_{k}w(X_k)\over n} !$ e !$ T_{3(n)}=\large{\sum\limits^{n}_{k=1} X_{k}h(X_k)\over\sum\limits^{n}_{k=1}h(X_k)}, !$
em que w(Xk) = exp{–(Xk – μ)2 / 2σ2}, h(Xk) = exp{–(Xk – T1)2 / 2S2} e S2 é a variância amostral.
Para avaliar a robustez do estimador T3 na presença de dados atípicos, o consultor apresentou um experimento Monte Carlo com 5 mil replicações de amostras com n = 300 para cada uma das situações hipotéticas: N(10, 1), N(10, 10) e N(10, 100). Em seguida, dentro de cada situação, valores atípicos foram adicionados em cada amostra, da seguinte forma:
!$ \begin{cases}~~~~~ Y_{k,d} = X_k,~~~~~~\mathrm{se}~~ 1\le k\le200,\\Y_{k,d} = X_k + 5\sigma_d,~~~~ \mathrm{se}~~k>200, \end{cases} !$
em que σd é o desvio-padrão da distribuição na situação hipotética e d = 1, 2 ou 3. Finalmente, foram obtidas as realizações:
!$ T^*_{1(n)d}={\large{\sum\limits^{300}_{k=1} Y_{k,d}\over 300}} !$ e !$ T^*_{3(n)d}=\large{\sum\limits^{300}_{k=1} Y_{k,d}h(Y_{k,d})\over\sum\limits^{300}_{k=1}h(Y_{k,d})} !$
em que !$ h(Y_{k,d})=\mathsf{exp}\left \{\large{-(Y_{k,d}-T^*_{1(n)d})^2\over2S^2_d} \right \}. \quad !$
A tabela seguinte mostra as estimativas dos erros quadráticos médios (EQM) e das variâncias (VAR) dos estimadores.
| T * 1(n)d | T * 3(n)d | ||||
| d | população | EQM | VAR | EQM | VAR |
| 1 | N(10, 1) | 2,780 | 0,003 | 1,418 | 0,004 |
| 2 | N(10, 10) | 27,812 | 0,034 | 14,216 | 0,043 |
| 3 | N(10, 100) | 278,101 | 0,315 | 141,884 | 0,409 |
Considerando as informações acima, julgue o próximo item.
Considerando a amostra aleatória com presença de observações atípicas Y1,d, Y2,d,..., Y300,d, o viés (ou vício) do estimador !$ T^*_{1(300)d} !$ é igual a !$ \large{5\sigma_d\over3} !$.
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Um levantamento será realizado a respeito de uma população normal N(μ, σ2), em que μ e σ2 são, respectivamente, a média e a variância. Os parâmetros μ e σ2 são desconhecidos. O coordenador do levantamento, sabendo da possibilidade de ocorrência de muitos valores atípicos (outliers) na amostra, contratou um consultor de estatística para auxiliá-lo. Considerando que uma amostra aleatória simples X1, X2,..., Xn será retirada dessa população, o consultor determinou que as três funções aleatórias seguintes são possíveis estimadores para μ.
!$ T_{1(n)}={\large{\sum\limits^{n}_{k=1} X_k\over n}},~T_{2(n)}=\large{(\sqrt{2})\sum\limits^{n}_{k=1} X_{k}w(X_k)\over n} !$ e !$ T_{3(n)}=\large{\sum\limits^{n}_{k=1} X_{k}h(X_k)\over\sum\limits^{n}_{k=1}h(X_k)}, !$
em que w(Xk) = exp{–(Xk – μ)2 / 2σ2}, h(Xk) = exp{–(Xk – T1)2 / 2S2} e S2 é a variância amostral.
Para avaliar a robustez do estimador T3 na presença de dados atípicos, o consultor apresentou um experimento Monte Carlo com 5 mil replicações de amostras com n = 300 para cada uma das situações hipotéticas: N(10, 1), N(10, 10) e N(10, 100). Em seguida, dentro de cada situação, valores atípicos foram adicionados em cada amostra, da seguinte forma:
!$ \begin{cases}~~~~~ Y_{k,d} = X_k,~~~~~~\mathrm{se}~~ 1\le k\le200,\\Y_{k,d} = X_k + 5\sigma_d,~~~~ \mathrm{se}~~k>200, \end{cases} !$
em que σd é o desvio-padrão da distribuição na situação hipotética e d = 1, 2 ou 3. Finalmente, foram obtidas as realizações:
!$ T^*_{1(n)d}={\large{\sum\limits^{300}_{k=1} Y_{k,d}\over 300}} !$ e !$ T^*_{3(n)d}=\large{\sum\limits^{300}_{k=1} Y_{k,d}h(Y_{k,d})\over\sum\limits^{300}_{k=1}h(Y_{k,d})} !$
em que !$ h(Y_{k,d})=\mathsf{exp}\left \{\large{-(Y_{k,d}-T^*_{1(n)d})^2\over2S^2_d} \right \}. \quad !$
A tabela seguinte mostra as estimativas dos erros quadráticos médios (EQM) e das variâncias (VAR) dos estimadores.
| T * 1(n)d | T * 3(n)d | ||||
| d | população | EQM | VAR | EQM | VAR |
| 1 | N(10, 1) | 2,780 | 0,003 | 1,418 | 0,004 |
| 2 | N(10, 10) | 27,812 | 0,034 | 14,216 | 0,043 |
| 3 | N(10, 100) | 278,101 | 0,315 | 141,884 | 0,409 |
Considerando as informações acima, julgue o próximo item.
Considerando a amostra aleatória com presença de observações atípicas Y1,d, Y2,d,..., Y300,d, tem-se que !$ T^*_{3(300)d} !$ não é tendencioso para a estimação da média μ.
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Questão presente nas seguintes provas
Um levantamento será realizado a respeito de uma população normal N(μ, σ2), em que μ e σ2 são, respectivamente, a média e a variância. Os parâmetros μ e σ2 são desconhecidos. O coordenador do levantamento, sabendo da possibilidade de ocorrência de muitos valores atípicos (outliers) na amostra, contratou um consultor de estatística para auxiliá-lo. Considerando que uma amostra aleatória simples X1, X2,..., Xn será retirada dessa população, o consultor determinou que as três funções aleatórias seguintes são possíveis estimadores para μ.
!$ T_{1(n)}={\large{\sum\limits^{n}_{k=1} X_k\over n}},~T_{2(n)}=\large{(\sqrt{2})\sum\limits^{n}_{k=1} X_{k}w(X_k)\over n} !$ e !$ T_{3(n)}=\large{\sum\limits^{n}_{k=1} X_{k}h(X_k)\over\sum\limits^{n}_{k=1}h(X_k)}, !$
em que w(Xk) = exp{–(Xk – μ)2 / 2σ2}, h(Xk) = exp{–(Xk – T1)2 / 2S2} e S2 é a variância amostral.
Para avaliar a robustez do estimador T3 na presença de dados atípicos, o consultor apresentou um experimento Monte Carlo com 5 mil replicações de amostras com n = 300 para cada uma das situações hipotéticas: N(10, 1), N(10, 10) e N(10, 100). Em seguida, dentro de cada situação, valores atípicos foram adicionados em cada amostra, da seguinte forma:
!$ \begin{cases}~~~~~ Y_{k,d} = X_k,~~~~~~\mathrm{se}~~ 1\le k\le200,\\Y_{k,d} = X_k + 5\sigma_d,~~~~ \mathrm{se}~~k>200, \end{cases} !$
em que σd é o desvio-padrão da distribuição na situação hipotética e d = 1, 2 ou 3. Finalmente, foram obtidas as realizações:
!$ T^*_{1(n)d}={\large{\sum\limits^{300}_{k=1} Y_{k,d}\over 300}} !$ e !$ T^*_{3(n)d}=\large{\sum\limits^{300}_{k=1} Y_{k,d}h(Y_{k,d})\over\sum\limits^{300}_{k=1}h(Y_{k,d})} !$
em que !$ h(Y_{k,d})=\mathsf{exp}\left \{\large{-(Y_{k,d}-T^*_{1(n)d})^2\over2S^2_d} \right \}. \quad !$
A tabela seguinte mostra as estimativas dos erros quadráticos médios (EQM) e das variâncias (VAR) dos estimadores.
| T * 1(n)d | T * 3(n)d | ||||
| d | população | EQM | VAR | EQM | VAR |
| 1 | N(10, 1) | 2,780 | 0,003 | 1,418 | 0,004 |
| 2 | N(10, 10) | 27,812 | 0,034 | 14,216 | 0,043 |
| 3 | N(10, 100) | 278,101 | 0,315 | 141,884 | 0,409 |
Considerando as informações acima, julgue o próximo item.
Considerando a amostra aleatória simples X1, X2,..., Xn , é correto afirmar que T2(n) é um estimador não tendencioso (não viciado) para a média μ.
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Questão presente nas seguintes provas
A partir de dados organizados pelo Ministério das Cidades, um consultor modelou o número de domicílios vagos em municípios da região Centro-Oeste do Brasil em função do tipo de localização (zona rural ou zona urbana) dos domicílios e do número de habitantes. Foram consideradas as seguintes variáveis: J = 0, para domicílios da zona rural, e J = 1, para domicílios da zona urbana; DViJ = número de domicílios vagos no município i, localizados na zona J em 2000; POPiJ = número de habitantes no município i que vivem na zona J em 2000.
Dos 446 municípios existentes na região Centro-Oeste, o consultor tomou os 64 municípios mais populosos, sendo os restantes agregados como “demais municípios”. Dessa forma, i = 1, ..., 65. O consultor considerou um modelo de regressão linear na forma
!$ \ell !$n(DViJ) = β0 + β1 × J + β2 × !$ \ell !$n(POPiJ) + β3 × J × !$ \ell !$n(POPiJ) + !$ \varepsilon !$iJ,
em que !$ \varepsilon !$iJ representa o erro aleatório normal com média zero e variância σ2; β0, β1, β2 e β3 são os coeficientes do modelo e !$ \ell !$n denota a função logaritmo natural. Um relatório preliminar apresentado pelo consultor contém os resultados da tabela a seguir:
| análise de variância | |||||
| fonte de variação |
graus de liberdade |
soma dos quadrados |
quadrado médio |
razão F | p-valor |
| modelo de regressão | 3 | 210,8 | 70,3 | 140,6 | < 0,0001 |
| J | 1 | 108,5 | |||
| !$ \ell !$n(POPiJ) | 1 | 93,5 | |||
| J × !$ \ell !$n(POPiJ) | 1 | 142,8 | |||
| J,!$ \ell !$n(POPiJ) | 2 | 201,4 | |||
| J,J × !$ \ell !$n(POPiJ) | 2 | 191,3 | |||
| !$ \ell !$n(POPiJ),J × !$ \ell !$n(POPiJ) | 2 | 206,8 | |||
| erro | 126 | 64,7 | 0,5 | ||
Na tabela mostrada, as somas dos quadrados com 1 ou 2 graus de liberdade são as somas de quadrados parciais quando, respectivamente, apenas uma ou duas fontes são consideradas no modelo. O modelo completo ajustado é
!$ \ell !$n(DViJ) = – 0,33 – 4,25 × J + 0,55 × !$ \ell !$n(POPiJ) + 0,55 × J × !$ \ell !$n(POPiJ),
e a estimativa do erro padrão do estimador !$ \widehat{\beta}_0 !$ é igual a 1.
Considerando as informações do texto acima, julgue o item que se segue.
É inferior a 0,9 a estimativa da variância do erro aleatório quando se considera o modelo reduzido
!$ \ell !$n(DViJ) = β0 + β3 × J × !$ \ell !$n(POPiJ) + !$ \varepsilon !$iJ.
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Questão presente nas seguintes provas
A partir de dados organizados pelo Ministério das Cidades, um consultor modelou o número de domicílios vagos em municípios da região Centro-Oeste do Brasil em função do tipo de localização (zona rural ou zona urbana) dos domicílios e do número de habitantes. Foram consideradas as seguintes variáveis: J = 0, para domicílios da zona rural, e J = 1, para domicílios da zona urbana; DViJ = número de domicílios vagos no município i, localizados na zona J em 2000; POPiJ = número de habitantes no município i que vivem na zona J em 2000.
Dos 446 municípios existentes na região Centro-Oeste, o consultor tomou os 64 municípios mais populosos, sendo os restantes agregados como “demais municípios”. Dessa forma, i = 1, ..., 65. O consultor considerou um modelo de regressão linear na forma
!$ \ell !$n(DViJ) = β0 + β1 × J + β2 × !$ \ell !$n(POPiJ) + β3 × J × !$ \ell !$n(POPiJ) + !$ \varepsilon !$iJ,
em que !$ \varepsilon !$iJ representa o erro aleatório normal com média zero e variância σ2; β0, β1, β2 e β3 são os coeficientes do modelo e !$ \ell !$n denota a função logaritmo natural. Um relatório preliminar apresentado pelo consultor contém os resultados da tabela a seguir:
| análise de variância | |||||
| fonte de variação |
graus de liberdade |
soma dos quadrados |
quadrado médio |
razão F | p-valor |
| modelo de regressão | 3 | 210,8 | 70,3 | 140,6 | < 0,0001 |
| J | 1 | 108,5 | |||
| !$ \ell !$n(POPiJ) | 1 | 93,5 | |||
| J × !$ \ell !$n(POPiJ) | 1 | 142,8 | |||
| J,!$ \ell !$n(POPiJ) | 2 | 201,4 | |||
| J,J × !$ \ell !$n(POPiJ) | 2 | 191,3 | |||
| !$ \ell !$n(POPiJ),J × !$ \ell !$n(POPiJ) | 2 | 206,8 | |||
| erro | 126 | 64,7 | 0,5 | ||
Na tabela mostrada, as somas dos quadrados com 1 ou 2 graus de liberdade são as somas de quadrados parciais quando, respectivamente, apenas uma ou duas fontes são consideradas no modelo. O modelo completo ajustado é
!$ \ell !$n(DViJ) = – 0,33 – 4,25 × J + 0,55 × !$ \ell !$n(POPiJ) + 0,55 × J × !$ \ell !$n(POPiJ),
e a estimativa do erro padrão do estimador !$ \widehat{\beta}_0 !$ é igual a 1.
Considerando as informações do texto acima, julgue o item que se segue.
É inferior a 0,5 o coeficiente de correlação parcial entre a variável resposta e a variável J, supondo que as demais variáveis estejam no modelo.
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Questão presente nas seguintes provas
A partir de dados organizados pelo Ministério das Cidades, um consultor modelou o número de domicílios vagos em municípios da região Centro-Oeste do Brasil em função do tipo de localização (zona rural ou zona urbana) dos domicílios e do número de habitantes. Foram consideradas as seguintes variáveis: J = 0, para domicílios da zona rural, e J = 1, para domicílios da zona urbana; DViJ = número de domicílios vagos no município i, localizados na zona J em 2000; POPiJ = número de habitantes no município i que vivem na zona J em 2000.
Dos 446 municípios existentes na região Centro-Oeste, o consultor tomou os 64 municípios mais populosos, sendo os restantes agregados como “demais municípios”. Dessa forma, i = 1, ..., 65. O consultor considerou um modelo de regressão linear na forma
!$ \ell !$n(DViJ) = β0 + β1 × J + β2 × !$ \ell !$n(POPiJ) + β3 × J × !$ \ell !$n(POPiJ) + !$ \varepsilon !$iJ,
em que !$ \varepsilon !$iJ representa o erro aleatório normal com média zero e variância σ2; β0, β1, β2 e β3 são os coeficientes do modelo e !$ \ell !$n denota a função logaritmo natural. Um relatório preliminar apresentado pelo consultor contém os resultados da tabela a seguir:
| análise de variância | |||||
| fonte de variação |
graus de liberdade |
soma dos quadrados |
quadrado médio |
razão F | p-valor |
| modelo de regressão | 3 | 210,8 | 70,3 | 140,6 | < 0,0001 |
| J | 1 | 108,5 | |||
| !$ \ell !$n(POPiJ) | 1 | 93,5 | |||
| J × !$ \ell !$n(POPiJ) | 1 | 142,8 | |||
| J,!$ \ell !$n(POPiJ) | 2 | 201,4 | |||
| J,J × !$ \ell !$n(POPiJ) | 2 | 191,3 | |||
| !$ \ell !$n(POPiJ),J × !$ \ell !$n(POPiJ) | 2 | 206,8 | |||
| erro | 126 | 64,7 | 0,5 | ||
Na tabela mostrada, as somas dos quadrados com 1 ou 2 graus de liberdade são as somas de quadrados parciais quando, respectivamente, apenas uma ou duas fontes são consideradas no modelo. O modelo completo ajustado é
!$ \ell !$n(DViJ) = – 0,33 – 4,25 × J + 0,55 × !$ \ell !$n(POPiJ) + 0,55 × J × !$ \ell !$n(POPiJ),
e a estimativa do erro padrão do estimador !$ \widehat{\beta}_0 !$ é igual a 1.
Considerando as informações do texto acima, julgue o item que se segue.
Considerando que β2 !$ \ne !$ 0 e β3 = 0, é inferior a 0,7 o coeficiente de determinação parcial entre a variável resposta e a variável J.
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