Seja !$ A= \begin{bmatrix}a & b \\ -b & a \end{bmatrix} !$. O maior valor de a, com !$ a \ne 1 !$, que satisfaz !$ A^{24}=I !$ é:

Os inteiros !$ n !$ e !$ m !$ são sorteados do conjunto !$ \{1,2,3,...,2016\} !$, podendo haver repetição. Qual a probabilidade do produto !$ n \times m !$ ser múltiplo de 12?

O valor da soma abaixo é:

!$ \binom{2016}{5}+ \binom{2017}{5}+ \binom{2018}{5}+\binom{2019}{5}+\binom{2020}{5}+\binom{2016}{6} !$

Sabendo-se que os números reais positivos a, b e c formam uma progressão geométrica e !$ \log \left( {\large{5c \over a}} \right) !$, !$ \log \left({\large{3b \over 5c}}\right) !$ e !$ \log \left({\large{a \over 3b}}\right) !$ formam uma progressão aritmética, ambas nessa ordem, então pode-se afirmar que a, b e c

Seja !$ P(x)=x^2+ax+b !$ . Sabe-se que !$ P(x) !$ e !$ P(P(P(x))) !$ têm uma raiz em comum. Pode-se afirmar que para todo valor a e b

O valor do somatório abaixo é:

!$ \sum\limits^{15}_{k=1} Img (cis^{2k-1}{\large{\pi \over 36}}) !$

Sabendo-se que m e n são inteiros positivos tais que 3^m + 14400 = n², determine o resto da divisão de m+n por 5.

O polinômio !$ x^3+ax^2+bx+c !$ tem raízes reais !$ \alpha !$, !$ - \alpha !$ e !$ {\large{1 \over \alpha}} !$. Portanto o valor da soma !$ b+c^2+ac+{\large{b \over c^2}} !$ é:

Dados três conjuntos quaisquer F, G e H. O conjunto G – H é igual ao conjunto:

A escolha de um indicador eficaz deve ser feita de acordo com a natureza do ácido e da base utilizados em uma titulação. As substâncias que atuam como indicadores ácido-base são corantes que mudam de cor em faixas estreitas de pH e, na maioria das vezes, são ácidos fracos. Dado um indicador HA, um ácido monoprótico fraco, verifica-se que sua cor no estado não-ionizado é nitidamente diferente da cor de sua base conjugada A−. Se o indicador estiver em meio suficientemente ácido, o equilíbrio desloca-se de acordo com o princípio de Le Chatelier e a cor predominante é a da forma não-ionizada, HA. Em meio suficientemente básico, ocorre o inverso, ou seja, o equilíbrio desloca-se de modo a prevalecer a cor da base conjugada A−. Considere que, de modo aproximado, possam ser utilizados os seguintes quocientes entre concentrações para prever a cor que o indicador vai apresentar:

Com base nestes dados, e sabendo que HA tem constante de ionização igual a 4,0 x 10⁻¹⁰, é coerente afirmar que o indicador HA

(Dado: log 4 = 0,6)