Dizemos que uma coleção de objetos (digamos, o conjunto dos números naturais) é fechado por uma operação (digamos, adição) se para quaisquer que sejam os elementos do conjunto a ser operado (digamos, 4 e 7), o resultado é novamente um elemento da coleção original (no exemplo, 4 + 7 = 11 ∈ ℕ). O conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição e à multiplicação, e é aberto em relação à subtração e à divisão já que podemos exibir ao menos um contraexemplo, com relação a essas operações, cujo resultado é um número que não pertence ao conjunto dos números naturais. No caso de ℕ e as operações de subtração e divisão, os contraexemplos podem ser 5 – 7 = – 2 ∉ ℕ e 7 ÷ 2 = 3,5 ∉ ℕ.

Com relação ao conjunto dos números irracionais (ℝ – ℚ) e às quatro operações (+, –, ×, ÷), ele é aberto em relação à

O ladrilhamento de um retângulo ABCD é composto por losangos idênticos e por metades desses mesmos losangos (nas laterais), sem sobreposições das figuras, como ilustra a imagem a seguir. A medida do lado de cada losango, ou meio losango, é igual a 12 cm.

Nas condições descritas, o perímetro do retângulo ABCD, em centímetros, é

Pode-se prever que na matemática do futuro serão importantes o que hoje se chama matemática discreta e igualmente o que se chamavam “casos patológicos”, desde a não-linearidade até teoria do caos, fractais, fuzzies, teoria dos jogos, pesquisa operacional, programação dinâmica.

(D’Ambrosio, U. Educação Matemática: da teoria a prática. São Paulo: Papirus, 2005.)

A crescente importância da matemática discreta, citada por D’Ambrosio, sinaliza para a importância de que sejam estabelecidas pontes entre o currículo escolar da matemática e o

A imagem representa uma conta armada de divisão entre dois números inteiros não negativos. Cada um dos três símbolos que aparecem na imagem representa algarismos diferentes (símbolos iguais representam o mesmo algarismo). Os símbolos também representam algarismos diferentes daqueles que já aparecem na conta (diferentes de 0, 2, 3, 4, 5).

Na situação descrita, é igual a

A figura indica quadrados de lado 3 u.c., 4 u.c. e 5 u.c., com vértices nas linhas de intersecção da malha quadriculada. Inscritos a esses quadrados estão desenhados todos os possíveis quadrados, de vértices nas linhas de intersecção da malha quadriculada, todos menores do que o quadrado original.

A tabela a seguir resume algumas informações a respeito dessa sequência de figuras.

(Ponte, J. P. et al. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. BH: Autêntica, 2003)

A imagem representa uma conta armada de divisão entre dois números inteiros não negativos. Cada um dos três símbolos que aparecem na imagem representa algarismos diferentes (símbolos iguais representam o mesmo algarismo). Os símbolos também representam algarismos diferentes daqueles que já aparecem na conta (diferentes de 0, 2, 3, 4, 5).

Generalizando o padrão descrito para um quadrado de lado n, o quadrado de maior área a ele inscrito terá área, em unidades de área, igual a

A figura indica quadrados de lado 3 u.c., 4 u.c. e 5 u.c., com vértices nas linhas de intersecção da malha quadriculada. Inscritos a esses quadrados estão desenhados todos os possíveis quadrados, de vértices nas linhas de intersecção da malha quadriculada, todos menores do que o quadrado original.

A tabela a seguir resume algumas informações a respeito dessa sequência de figuras.

(Ponte, J. P. et al. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. BH: Autêntica, 2003)

Completando a tabela com dados do quadrado de lado 6 u.c., a área do maior quadrado inscrito será igual a

Ana, Bruna e Cleide são estudantes das séries iniciais e fizeram parte de um experimento em que tinham que apresentar respostas para as seguintes divisões:

1) 85÷5, 2) 5÷2, 3) 2÷5, 4) 47÷6, 5) 35÷16.

A tabela indica as respostas dadas pelas três estudantes:

(Parra, C., Saiz, I. Didática da Matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001. Adaptado)

Considerando valores exatos da divisão nos números racionais, a soma dos valores absolutos dos erros cometidos por Bruna em suas respostas é igual a

Ana, Bruna e Cleide são estudantes das séries iniciais e fizeram parte de um experimento em que tinham que apresentar respostas para as seguintes divisões:

1) 85÷5, 2) 5÷2, 3) 2÷5, 4) 47÷6, 5) 35÷16.

A tabela indica as respostas dadas pelas três estudantes:

(Parra, C., Saiz, I. Didática da Matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001. Adaptado)

De acordo com a matemática e educadora Irma Saiz, ao analisar o processo de ensino e aprendizagem da divisão em seu livro Didática da matemática, uma das razões da diversidade nas respostas apresentadas deve-se à

A reação das crianças à tarefa de inclusão de classes ajuda-nos a entender quão difícil é construir a estrutura hierárquica. Na tarefa de inclusão de classes, por exemplo, em um experimento, a criança recebe seis cachorros em miniatura e dois gatos do mesmo tamanho. Somente depois de assegurar-se sobre a compreensão da criança a respeito dessas palavras (cachorro e gato), é que o adulto (pessoa que faz o experimento) faz a seguinte pergunta em relação à inclusão de classes: “– Existem mais cachorros ou mais animais?” A resposta típica das crianças de 4 anos é: “– Mais cachorros”, quando então o adulto pergunta: “– Mais do que o quê?”. A resposta da criança de 4 anos é: “– Do que gatos”.

(Kamii, Constance. A Criança e o número. Campinas: Papiru, 1995. Adaptado)

Para Constance Kamii, esse experimento indica que crianças pequenas, na faixa de 4 anos de idade,

Segundo o matemático e historiador Georges Ifrah, um sistema antigo de numeração cujos algarismos tipicamente não se adequadavam a efetuar operações aritméticas, mas apenas a fazer abreviações para anotar e reter números, era o