Em um estudo de propriedades de números reais distintos e não nulos, dois pesquisadores se deparam com uma interessante relação envolvendo as variáveis x e y. Essas variáveis, embora diferentes entre si e diferentes de zero, obedecem à seguinte igualdade:

\( x-\dfrac{1}{x}=y-\dfrac{1}{y}. \)

Diante dessa relação, os pesquisadores buscam determinar o valor do produto \( x\ .\ y \) baseando-se na igualdade dada. Qual seria, então, o valor exato do produto\( x\ .\ y \)?

Uma empresa produz e vende um único produto. O custo de produção C(x) desse produto, em reais, para produzir x unidades é dado por \( C\left(x\right)=100+20x \), onde 100 é o custo fixo e 20 é o custo variável por unidade produzida. A receita R(x) obtida pela venda de x unidades do produto é dada por \( R\left(x\right)=-2x^2+120x \). O lucro L(x), que é a diferença entre a receita e o custo, pode ser calculado por L(x)=R(x)-C(x).

Qual é o número de unidades produzidas e vendidas que maximiza o lucro da empresa?

A comissão de formatura de uma faculdade decidiu organizar uma festa de confraternização em uma chácara alugada. O valor do aluguel da chácara é um custo fixo, ou seja, não depende do número de formandos que participarão do evento. Originalmente, o custo do aluguel dividido por cada formando resultou em R$ 30,00 por pessoa, considerando a participação de todos os formandos da turma. Contudo, 8 formandos desistiram de participar do evento, e com isso, o custo por pessoa aumentou para R$ 37,50. Quantos formandos temos nessa turma?

A metade do número 8¹⁰⁰ é:

Uma loja de eletrônicos oferece uma promoção progressiva em smartphones durante uma liquidação especial. O primeiro desconto é de 20% sobre o preço inicial. Além disso, clientes que realizam o pagamento à vista recebem um desconto adicional de 15% sobre o preço já reduzido pelo desconto anterior. Por um erro sistêmico, um cliente conseguiu aplicar um desconto adicional de 10% sobre o valor final, após todos os descontos anteriores terem sido aplicados. Se o preço inicial de um smartphone era de R$ 2000,00, qual foi o preço final pago pelo cliente, após a aplicação de todos os descontos mencionados?

Três pedreiros estão construindo uma casa, cada um tem seu modo e tempo de trabalhar. Sabe-se que quando Alberto e Bruno trabalham juntos, eles conseguem construir a casa em 6 dias. Quando Alberto e Carlos trabalham juntos, eles conseguem construir a casa em 8 dias. Agora, se Bruno e Carlos trabalharem juntos, a casa estará construída em 24 dias. Em quantos dias a casa será construída se os três pedreiros trabalharem juntos?

Na fila para a compra de ingressos de um show, observou-se que três em cada cinco pessoas são homens. Considerando que há um total de 300 pessoas na fila, qual é o número exato de homens?

Ana possui dois bastões, cujas medidas são respectivamente 7 centímetros e 20 centímetros. Com o objetivo de construir um triângulo (utilizando, obrigatoriamente, os dois bastões que ela já possui), ela busca adquirir um terceiro bastão. Ao visitar uma loja especializada, Ana depara-se com bastões disponíveis em diversos tamanhos, todos múltiplos de 5 centímetros, especificamente: 5, 10, 15, 20, 25, 30 e 35 centímetros. Considerando os bastões disponíveis, quantos deles possibilitariam a Ana formar o triângulo almejado?

Um concurso reuniu as 100 pessoas mais velhas de uma determinada cidade. Sabe-se que a idade média dessas pessoas é de 75 anos. Sabendo que a idade média dos homens desse concurso é de 90 anos e a idade média das mulheres nesse concurso é de 65, quantos homens participaram do concurso?

Qual o menor valor inteiro de k para que a expressão

\( \dfrac{1\ \times\ 2\ \times\ 3\ \times\ ...\ \times\ (k-1)\ \times\ k}{3^{10}} \)

seja um número natural?