Sabe-se que certa proporção populacional p de “ sucessos” ou é igual a 0,2 ou é igual a 0,5. Para testar H ₀ : p = 0,2 versus H ₁ : p = 0,5, com base numa amostra aleatória de cinco observações, será usado o seguinte critério: se o número de “ sucessos” nessa amostra for maior do que 1, rejeita-se H ₀.

A probabilidade de erro tipo 2 desse critério é igual a

Considere uma amostra aleatória X ₁, X ₂, ... , X _n de uma função de densidade de probabilidade f(x) com função de distribuição acumulada F(x).

Se Y = min {Xi} é a primeira estatística de ordem, então a função de densidade de Y será dada por

Considere uma amostra aleatória X ₁, X ₂, X ₃, X ₄ , de tamanho 4, de uma variável populacional com média μ e variância σ ² e os seguintes eventuais estimadores de μ:

T ₁ = (X ₁ + X ₂ + X ₃ + X ₄)/4

T ₂ = (X ₁ + 2X ₂ + 3X ₃ + 4X ₄)/10

T ₃ = (X ₁ - 2X ₂ - 2X ₃ + 4X ₄₎/10

T ₄ = X ₁

T ₅ = (X ₁ - 2X ₂ + 3X ₃ - 4X ₄)/4

A variância de T5 é igual a:

Considere uma amostra aleatória X₁, X₂, X₃, X₄ , de tamanho 4, de uma variável populacional com média μ e variância σ² e os seguintes eventuais estimadores de μ:

T₁ = (X₁ + X₂ + X₃ + X₄)/4

T₂ = (X₁ + 2X₂ + 3X₃ + 4X₄)/10

T₃ = (X₁ - 2X₂ - 2X₃ + 4X₄₎/10

T₄ = X₁

T₅ = (X₁ - 2X₂ + 3X₃ - 4X₄)/4

Dos estimadores de μ apresentados, o de menor variância é

Considere uma amostra aleatória X₁, X₂, X₃, X₄ , de tamanho 4, de uma variável populacional com média μ e variância σ² e os seguintes eventuais estimadores de μ:

T₁ = (X₁ + X₂ + X₃ + X₄)/4

T₂ = (X₁ + 2X₂ + 3X₃ + 4X₄)/10

T₃ = (X₁ - 2X₂ - 2X₃ + 4X₄₎/10

T₄ = X₁

T₅ = (X₁ - 2X₂ + 3X₃ - 4X₄)/4

São estimadores não tendenciosos de μ:

Suponha que os pesos de indivíduos adultos do sexo masculino numa população sejam normalmente distribuídos com média μ e variância σ². Uma amostra aleatória simples de tamanho 5 foi obtida e apresentou os seguintes dados (em kg): 70,0; 72,5; 74,0; 75,5; 78,0.

A estimativa de máxima verossimilhança da variância populacional é igual a

X e Y são variáveis aleatórias com função de densidade de probabilidade conjunta dada por:

O valor da constante k é

Se X₁ , X₂ , ... , X₁₀ são dez variáveis aleatórias independentes com distribuição Poisson (λi), λi = i, i = 1, ..., 10, então a variável X₁+ X₂ + ...+ X₁₀ tem distribuição

Suponha que os pesos de universitários do sexo masculino sejam normalmente distribuídos com média de 68 kg e desvio padrão 8 kg e que os pesos das universitárias sejam normalmente distribuídos com média de 65 kg e desvio padrão 6 kg.

Se quatro rapazes e quatro moças dessa população universitária forem aleatoriamente escolhidos, a probabilidade de que a soma dos pesos das moças seja maior do que a soma dos pesos dos rapazes é igual a

Os diâmetros da seção reta de componentes cilíndricos produzidos por uma determinada empresa são normalmente distribuídos. O processo industrial prevê uma média de 1 cm e um desvio padrão de 0,1 cm para esses diâmetros.

Para avaliar se, num determinado momento, o processo ainda está ajustado para a média de 1 cm, o controle de qualidade da empresa resolve adotar a seguinte estratégia: obter uma amostra aleatória de tamanho 64 e rejeitar a hipótese H de que a média é igual a 1cm com base no intervalo de 95% de confiança para a média.

Obtida a amostra, verificou-se uma média amostral igual a 1,01 cm. Supondo que o desvio padrão populacional continua igual a 0,1 cm, o intervalo de confiança para a média e a respectiva decisão, ao nível de significância de 5%, são: