Em três grandes cidades de um estado foram escolhidos aleatoriamente, em cada uma, 100 eleitores. Deseja-se saber, ao nível de significância α, se o grau de satisfação do desempenho do governador depende da cidade onde os eleitores residem. Em cada cidade foi perguntado, independentemente, para cada eleitor o que ele achava do desempenho do governador. A tabela abaixo reproduz o resultado da pesquisa e sabe-se que nenhum eleitor reside em mais de uma cidade.

Utilizou-se o teste qui-quadrado para concluir se existe dependência do grau de desempenho com relação às cidades e verificou-se que o qui-quadrado observado foi inferior ao qui-quadrado tabelado, de acordo com o nível de significância α estabelecido. Com relação ao teste,

Considere:

I. O dendograma é uma representação gráfica útil na análise de agrupamentos que mostra como os agrupamentos são combinados em cada passo do procedimento.

II. Na análise fatorial os métodos de rotação têm por objetivo simplificar as linhas e colunas da matriz fatorial para facilitar a sua interpretação. Os métodos de rotação podem ser ortogonais ou oblíquos.

III. Sabe-se que a variável aleatória tem distribuição multivariada com vetor de medias μ e matriz de covariâncias V dadas por: μ = e V = . Sendo Z = 2X₁ + X₂, a variância de Z é igual a 9.

IV. As técnicas de análise multivariada podem ser classificadas como técnicas de dependência e de interdependência. A análise fatorial é uma técnica de interdependência.

Está correto o que se afirma APENAS em

Considere:

I. Para amostras aleatórias simples (X₁, X₂, ... X₅ ), retiradas de uma população infinita e que tem desvio padrão igual a 12, a média amostral , tem variância igual a 28,8.

II. Para amostras aleatórias simples (X₁,X₂,...X_n) , retiradas de uma população finita de tamanho N = 8n e que tem variância igual a σ² , a média amostral , tem variância igual a 7σ²/8n .

III. Desejando-se estimar a proporção p de pessoas favoráveis a certo projeto governamental numa população, utilizou-se a proporção amostral , com base numa amostra aleatória simples, com reposição de 100 observações. Se 0 ≤ p ≤ 0,3, então o valor máximo para a variância de é 0,0021.

IV. Os levantamentos amostrais probabilísticos são procedimentos que usam mecanismos aleatórios de seleção dos elementos de uma amostra.

Está correto o que se afirma APENAS em

A função densidade de probabilidade da variável bidimensional contínua (X,Y) é dada por:

Onde K é a constante adequada para tornar f(x,y) uma função densidade de probabilidade.

Nessas condições, P(X < 1/2, Y < 1/2) é igual a

A função de probabilidade conjunta das variáveis X e Y é dada por:

Nessas condições, a esperança condicional de X dado que Y é igual a 2, denotada por E(X Y = 2) é igual, a

A função de distribuição acumulada da variável aleatória X é dada por:

.

Nessas condições, a variância de X é igual a

Atenção: Para responder às questões de números 50 a 53 use as informações dadas abaixo. Se Z tem distribuição normal padrão, então:

P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,28) = 0,90; P(Z < 1,5) = 0,933; P(Z < 1,8) = 0,964.

O diâmetro de uma peça é uma variável aleatória X, com distribuição normal com média μ (cm) e variância igual a 2,25(cm)².

Seja (X₁, X₂, ... X_n) uma amostra aleatória simples da variável aleatória X que representa os pesos de crianças recém-nascidas do sexo feminino em determinada população. Sabe-se que:

I. X tem distribuição normal com média μ (kg) e desvio padrão 1 kg.

II. é a média amostral da amostra considerada.

III. A população de onde essa amostra foi extraída é infinita.

Nessas condições, o valor de n para que a diferença, em valor absoluto, entre e μ seja, no máximo, 0,2 kg, com probabilidade de 92,8%, é igual a

Atenção: Para responder à questão, considere as informações e a tabela abaixo.

Uma pesquisa eleitoral foi realizada com uma amostra de 1000 eleitores com o objetivo de estudar a influência do salário mensal do eleitor, apresentada em número de salários mínimos (SM), na preferência por dois candidatos presidenciais. Os resultados obtidos foram os seguintes:

Preferência

Renda Anual em SM candidato A candidato B indecisos Total

3 5 90 180 30 300

5 11 220 160 20 400

11 17 150 140 10 300

Total 460 480 60 1000

Uma pessoa será selecionada ao acaso deste grupo de 1000 eleitores. A probabilidade de ela ter salário mensal inferior a 11 salários mínimos ou votar no candidato B é, em %, igual a

Atenção: Para responder à questão considere um estudo com o objetivo de obter a relação entre duas variáveis X e Y por meio do modelo Y_i = α + βX_i + ∈_i , em que i corresponde à i-ésima observação de X e Y. Os parâmetros α e β são desconhecidos e ∈_i é o erro aleatório com as respectivas hipóteses consideradas para a regressão linear simples. Com base em 20 pares de observações (X_i , Y_i ), i = 1, 2, ..., 20 e utilizando o método dos mínimos quadrados foram obtidas as estimativas para α e β.