Distante do rigor e do formalismo matemático, pode-se definir fractal como um objeto que apresenta autossemelhança e complexidade infinita ou, em outras palavras, que sempre tem cópias aproximadas de si mesmo no seu interior. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são, geralmente, autossimilares e independem de escala. Em muitos casos, um fractal é gerado por um padrão repetido, sendo, tipicamente, resultante de um processo recorrente ou iterativo.

A figura acima corresponde à representação de uma samambaia construída por meio de computador. Para a composição desse desenho, constrói-se, primeiramente, um feto fractal. No plano de coordenadas cartesianas !$ xOy !$, um feto fractal pode ser gerado por meio de um sistema de funções iteradas, começando-se com um ponto na origem, !$ x_0 = 0 !$ e !$ y_0 = 0 !$, e determinando-se, iterativamente, novos pontos a partir do resultado da aplicação aleatória de sistemas de equações. Por exemplo, ao serem desenhadas algumas folhas da samambaia, podem ser encontrados, iterativamente, pares de pontos !$ P_n = (x_n;y_n) !$, que satisfazem ao seguinte sistema de equações.

!$ \large \begin{cases} x_{n + 1} = 0,2x_n - 0,26y_n \\ y_{n + 1} = 0,23x_n + 0,22y_n + 1,6 \end{cases} !$

Internet: <www.insite.com.br> (com adaptações).

Distante do rigor e do formalismo matemático, pode-se definir fractal como um objeto que apresenta autossemelhança e complexidade infinita ou, em outras palavras, que sempre tem cópias aproximadas de si mesmo no seu interior. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são, geralmente, autossimilares e independem de escala. Em muitos casos, um fractal é gerado por um padrão repetido, sendo, tipicamente, resultante de um processo recorrente ou iterativo.

A figura acima corresponde à representação de uma samambaia construída por meio de computador. Para a composição desse desenho, constrói-se, primeiramente, um feto fractal. No plano de coordenadas cartesianas !$ xOy !$, um feto fractal pode ser gerado por meio de um sistema de funções iteradas, começando-se com um ponto na origem, !$ x_0 = 0 !$ e !$ y_0 = 0 !$, e determinando-se, iterativamente, novos pontos a partir do resultado da aplicação aleatória de sistemas de equações. Por exemplo, ao serem desenhadas algumas folhas da samambaia, podem ser encontrados, iterativamente, pares de pontos !$ P_n = (x_n;y_n) !$, que satisfazem ao seguinte sistema de equações.

!$ \large \begin{cases} x_{n + 1} = 0,2x_n - 0,26y_n \\ y_{n + 1} = 0,23x_n + 0,22y_n + 1,6 \end{cases} !$

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Distante do rigor e do formalismo matemático, pode-se definir fractal como um objeto que apresenta autossemelhança e complexidade infinita ou, em outras palavras, que sempre tem cópias aproximadas de si mesmo no seu interior. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são, geralmente, autossimilares e independem de escala. Em muitos casos, um fractal é gerado por um padrão repetido, sendo, tipicamente, resultante de um processo recorrente ou iterativo.

A figura acima corresponde à representação de uma samambaia construída por meio de computador. Para a composição desse desenho, constrói-se, primeiramente, um feto fractal. No plano de coordenadas cartesianas !$ xOy !$, um feto fractal pode ser gerado por meio de um sistema de funções iteradas, começando-se com um ponto na origem, !$ x_0 = 0 !$ e !$ y_0 = 0 !$, e determinando-se, iterativamente, novos pontos a partir do resultado da aplicação aleatória de sistemas de equações. Por exemplo, ao serem desenhadas algumas folhas da samambaia, podem ser encontrados, iterativamente, pares de pontos !$ P_n = (x_n;y_n) !$, que satisfazem ao seguinte sistema de equações.

!$ \large \begin{cases} x_{n + 1} = 0,2x_n - 0,26y_n \\ y_{n + 1} = 0,23x_n + 0,22y_n + 1,6 \end{cases} !$

Internet: <www.insite.com.br> (com adaptações).

Texto I

A Teoria do Caos consiste em um conjunto de formulações teóricas que explica o funcionamento de sistemas complexos e dinâmicos. Nesses sistemas, determinados resultados podem ser “instáveis” no que diz respeito à evolução temporal como função de seus parâmetros e variáveis. Isso significa que certos resultados são causados pela ação e interação de elementos, de forma praticamente aleatória.

Os cálculos pertinentes à Teoria do Caos são utilizados para a descrição e o entendimento de fenômenos meteorológicos, crescimento de populações, variações no mercado financeiro, movimentos de placas tectônicas e tráfego em redes de telecomunicações. Uma das mais conhecidas caracterizações das peculiaridades dessa teoria é o denominado efeito borboleta.

Texto II

Para ir de sua residência à casa de sua avó, que reside a 30 km da casa dele, João deve ir de ônibus até a estação de trem e, em seguida, pegar o trem. São descritas abaixo duas situações possíveis de acontecerem nesse percurso.

Situação 1: João saiu de casa às 9 h para visitar sua avó. Ficou preso no elevador por 5 min, devido à falta de energia, o que o fez perder o ônibus, que passava a cada 10 min (havia passado às 9 h 4 min). Chegou à estação e perdeu o trem que havia acabado de sair. O próximo só sairia daí a 2 horas.

Situação 2: João saiu de casa um pouco mais cedo, às 8 h 59 min. O elevador funcionou normalmente e João chegou cedo à casa da avó.

A situação 1 é um bom exemplo de caos em que uma pequena alteração provocou diferenças consideráveis. Todavia, uma alteração pode não originar uma diferença significativa, como se pode verificar na situação 2.

Comparando as duas situações, constata-se que uma pequena alteração pode ter consequências imprevisíveis, uma vez que, apesar de ser de apenas um minuto a diferença entre a saída de João nas situações 1 e 2, ele, na situação 1, chegou à casa de sua avó 2 horas e 14 minutos mais tarde que na situação 2.

Texto I

A Teoria do Caos consiste em um conjunto de formulações teóricas que explica o funcionamento de sistemas complexos e dinâmicos. Nesses sistemas, determinados resultados podem ser “instáveis” no que diz respeito à evolução temporal como função de seus parâmetros e variáveis. Isso significa que certos resultados são causados pela ação e interação de elementos, de forma praticamente aleatória.

Os cálculos pertinentes à Teoria do Caos são utilizados para a descrição e o entendimento de fenômenos meteorológicos, crescimento de populações, variações no mercado financeiro, movimentos de placas tectônicas e tráfego em redes de telecomunicações. Uma das mais conhecidas caracterizações das peculiaridades dessa teoria é o denominado efeito borboleta.

Texto II

Para ir de sua residência à casa de sua avó, que reside a 30 km da casa dele, João deve ir de ônibus até a estação de trem e, em seguida, pegar o trem. São descritas abaixo duas situações possíveis de acontecerem nesse percurso.

Situação 1: João saiu de casa às 9 h para visitar sua avó. Ficou preso no elevador por 5 min, devido à falta de energia, o que o fez perder o ônibus, que passava a cada 10 min (havia passado às 9 h 4 min). Chegou à estação e perdeu o trem que havia acabado de sair. O próximo só sairia daí a 2 horas.

Situação 2: João saiu de casa um pouco mais cedo, às 8 h 59 min. O elevador funcionou normalmente e João chegou cedo à casa da avó.

A situação 1 é um bom exemplo de caos em que uma pequena alteração provocou diferenças consideráveis. Todavia, uma alteração pode não originar uma diferença significativa, como se pode verificar na situação 2.

Comparando as duas situações, constata-se que uma pequena alteração pode ter consequências imprevisíveis, uma vez que, apesar de ser de apenas um minuto a diferença entre a saída de João nas situações 1 e 2, ele, na situação 1, chegou à casa de sua avó 2 horas e 14 minutos mais tarde que na situação 2.

Texto I

A Teoria do Caos consiste em um conjunto de formulações teóricas que explica o funcionamento de sistemas complexos e dinâmicos. Nesses sistemas, determinados resultados podem ser “instáveis” no que diz respeito à evolução temporal como função de seus parâmetros e variáveis. Isso significa que certos resultados são causados pela ação e interação de elementos, de forma praticamente aleatória.

Os cálculos pertinentes à Teoria do Caos são utilizados para a descrição e o entendimento de fenômenos meteorológicos, crescimento de populações, variações no mercado financeiro, movimentos de placas tectônicas e tráfego em redes de telecomunicações. Uma das mais conhecidas caracterizações das peculiaridades dessa teoria é o denominado efeito borboleta.

Texto II

Para ir de sua residência à casa de sua avó, que reside a 30 km da casa dele, João deve ir de ônibus até a estação de trem e, em seguida, pegar o trem. São descritas abaixo duas situações possíveis de acontecerem nesse percurso.

Situação 1: João saiu de casa às 9 h para visitar sua avó. Ficou preso no elevador por 5 min, devido à falta de energia, o que o fez perder o ônibus, que passava a cada 10 min (havia passado às 9 h 4 min). Chegou à estação e perdeu o trem que havia acabado de sair. O próximo só sairia daí a 2 horas.

Situação 2: João saiu de casa um pouco mais cedo, às 8 h 59 min. O elevador funcionou normalmente e João chegou cedo à casa da avó.

A situação 1 é um bom exemplo de caos em que uma pequena alteração provocou diferenças consideráveis. Todavia, uma alteração pode não originar uma diferença significativa, como se pode verificar na situação 2.

Comparando as duas situações, constata-se que uma pequena alteração pode ter consequências imprevisíveis, uma vez que, apesar de ser de apenas um minuto a diferença entre a saída de João nas situações 1 e 2, ele, na situação 1, chegou à casa de sua avó 2 horas e 14 minutos mais tarde que na situação 2.

Texto I

A Teoria do Caos consiste em um conjunto de formulações teóricas que explica o funcionamento de sistemas complexos e dinâmicos. Nesses sistemas, determinados resultados podem ser “instáveis” no que diz respeito à evolução temporal como função de seus parâmetros e variáveis. Isso significa que certos resultados são causados pela ação e interação de elementos, de forma praticamente aleatória.

Os cálculos pertinentes à Teoria do Caos são utilizados para a descrição e o entendimento de fenômenos meteorológicos, crescimento de populações, variações no mercado financeiro, movimentos de placas tectônicas e tráfego em redes de telecomunicações. Uma das mais conhecidas caracterizações das peculiaridades dessa teoria é o denominado efeito borboleta.

Texto II

Para ir de sua residência à casa de sua avó, que reside a 30 km da casa dele, João deve ir de ônibus até a estação de trem e, em seguida, pegar o trem. São descritas abaixo duas situações possíveis de acontecerem nesse percurso.

Situação 1: João saiu de casa às 9 h para visitar sua avó. Ficou preso no elevador por 5 min, devido à falta de energia, o que o fez perder o ônibus, que passava a cada 10 min (havia passado às 9 h 4 min). Chegou à estação e perdeu o trem que havia acabado de sair. O próximo só sairia daí a 2 horas.

Situação 2: João saiu de casa um pouco mais cedo, às 8 h 59 min. O elevador funcionou normalmente e João chegou cedo à casa da avó.

A situação 1 é um bom exemplo de caos em que uma pequena alteração provocou diferenças consideráveis. Todavia, uma alteração pode não originar uma diferença significativa, como se pode verificar na situação 2.

Comparando as duas situações, constata-se que uma pequena alteração pode ter consequências imprevisíveis, uma vez que, apesar de ser de apenas um minuto a diferença entre a saída de João nas situações 1 e 2, ele, na situação 1, chegou à casa de sua avó 2 horas e 14 minutos mais tarde que na situação 2.

Texto I

A Teoria do Caos consiste em um conjunto de formulações teóricas que explica o funcionamento de sistemas complexos e dinâmicos. Nesses sistemas, determinados resultados podem ser “instáveis” no que diz respeito à evolução temporal como função de seus parâmetros e variáveis. Isso significa que certos resultados são causados pela ação e interação de elementos, de forma praticamente aleatória.

Os cálculos pertinentes à Teoria do Caos são utilizados para a descrição e o entendimento de fenômenos meteorológicos, crescimento de populações, variações no mercado financeiro, movimentos de placas tectônicas e tráfego em redes de telecomunicações. Uma das mais conhecidas caracterizações das peculiaridades dessa teoria é o denominado efeito borboleta.

Texto II

Para ir de sua residência à casa de sua avó, que reside a 30 km da casa dele, João deve ir de ônibus até a estação de trem e, em seguida, pegar o trem. São descritas abaixo duas situações possíveis de acontecerem nesse percurso.

Situação 1: João saiu de casa às 9 h para visitar sua avó. Ficou preso no elevador por 5 min, devido à falta de energia, o que o fez perder o ônibus, que passava a cada 10 min (havia passado às 9 h 4 min). Chegou à estação e perdeu o trem que havia acabado de sair. O próximo só sairia daí a 2 horas.

Situação 2: João saiu de casa um pouco mais cedo, às 8 h 59 min. O elevador funcionou normalmente e João chegou cedo à casa da avó.

A situação 1 é um bom exemplo de caos em que uma pequena alteração provocou diferenças consideráveis. Todavia, uma alteração pode não originar uma diferença significativa, como se pode verificar na situação 2.

Comparando as duas situações, constata-se que uma pequena alteração pode ter consequências imprevisíveis, uma vez que, apesar de ser de apenas um minuto a diferença entre a saída de João nas situações 1 e 2, ele, na situação 1, chegou à casa de sua avó 2 horas e 14 minutos mais tarde que na situação 2.

Texto I

A Teoria do Caos consiste em um conjunto de formulações teóricas que explica o funcionamento de sistemas complexos e dinâmicos. Nesses sistemas, determinados resultados podem ser “instáveis” no que diz respeito à evolução temporal como função de seus parâmetros e variáveis. Isso significa que certos resultados são causados pela ação e interação de elementos, de forma praticamente aleatória.

Os cálculos pertinentes à Teoria do Caos são utilizados para a descrição e o entendimento de fenômenos meteorológicos, crescimento de populações, variações no mercado financeiro, movimentos de placas tectônicas e tráfego em redes de telecomunicações. Uma das mais conhecidas caracterizações das peculiaridades dessa teoria é o denominado efeito borboleta.

Texto II

Para ir de sua residência à casa de sua avó, que reside a 30 km da casa dele, João deve ir de ônibus até a estação de trem e, em seguida, pegar o trem. São descritas abaixo duas situações possíveis de acontecerem nesse percurso.

Situação 1: João saiu de casa às 9 h para visitar sua avó. Ficou preso no elevador por 5 min, devido à falta de energia, o que o fez perder o ônibus, que passava a cada 10 min (havia passado às 9 h 4 min). Chegou à estação e perdeu o trem que havia acabado de sair. O próximo só sairia daí a 2 horas.

Situação 2: João saiu de casa um pouco mais cedo, às 8 h 59 min. O elevador funcionou normalmente e João chegou cedo à casa da avó.

A situação 1 é um bom exemplo de caos em que uma pequena alteração provocou diferenças consideráveis. Todavia, uma alteração pode não originar uma diferença significativa, como se pode verificar na situação 2.

Comparando as duas situações, constata-se que uma pequena alteração pode ter consequências imprevisíveis, uma vez que, apesar de ser de apenas um minuto a diferença entre a saída de João nas situações 1 e 2, ele, na situação 1, chegou à casa de sua avó 2 horas e 14 minutos mais tarde que na situação 2.

Todo infinito tem o mesmo tamanho? Qual a diferença entre o infinitamente grande e o infinitamente pequeno? Afinal, o que é o infinito?

Ao longo da história, muitos dedicaram-se a refletir sobre esse problema, como o grego Zenão de Eleia (495-435 a.C.), que propôs o problema da corrida entre Aquiles, o mais veloz corredor do mundo, e uma tartaruga, que, em razão de sua óbvia desvantagem, largaria alguns metros à frente do herói mítico. Contrariamente à constatação evidente da vantagem de Aquiles, argumentou Zenão que o atleta nunca alcançaria o animal, pois, quando chegasse ao ponto de partida da tartaruga, ela já teria avançado mais uma distância, de modo que, quando ele atingisse o ponto onde ela se encontrava nesse momento, ela já teria avançado mais outra distância. E isso se sucederia infinitamente, caso os espaços fossem divididos infinitamente.

O entendimento dessa questão sempre foi intrigante. Pensadores da Antiguidade, anteriores a Pitágoras (500 a.C.), já eram atormentados por essa problemática. Entretanto, apenas ao final do século XIX, na Alemanha, com Georg Cantor (1845-1918), a ideia de infinito foi, realmente, consolidada na matemática. Os matemáticos já sabiam do caráter infinito de alguns conjuntos, como os dos números inteiros, dos racionais, dos irracionais e dos reais, mas desconheciam que alguns conjuntos poderiam ser mais infinitos que outros.

Cantor demonstrou que, embora infinitos, os números racionais podem ser enumerados — ou contados —, assim como os inteiros. Todavia, os números irracionais são “mais infinitos” que os racionais e não podem ser contados. Assim, a quantidade de infinitos racionais, valor denominado alef zero, é menor que a quantidade de infinitos irracionais, valor denominado alef 1. Em outras palavras, Cantor postulou que os números racionais, bem como os inteiros, são, de fato, infinitos, mas são contáveis, ao passo que os números irracionais são infinitos e incontáveis e o infinito dos números racionais é menor que o infinito dos números irracionais.

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