Foram encontradas 349 questões.
A imagem representada acima foi gerada por um caleidoscópio, artefato formado por pedaços de vidro de diversas cores e colocados entre dois ou três espelhos planos. Esses pedaços de vidro colorido formam desenhos extremamente belos, que se modificam, simetricamente, à mais leve oscilação do caleidoscópio. Esse artefato, cuja simetria é chamada oitavada, ao ser rotacionado de \( \pi/4 \) radianos, fornece a mesma imagem anteriormente apresentada. Na figura, estão traçados eixos cartesianos ortogonais \( xOy \); cada ponto \( (x, y) \) do plano está identificado com um número complexo \( z = x + iy \), em que \( i \) é a unidade imaginária \( (i^2 = -1) \), e os pontos \( z_1 \), \( z_2 \), ..., \( z_8 \) correspondem às raízes da função polinomial \( p(z) = z^8 - 1 \).
Tendo como referência as informações apresentadas, julgue o item.
Todas as raízes \( z_i \), \( 1 \le i \le 8 \) podem ser escritas na forma \( z_i=ρ^n \), em que \( ρ \) é uma dessas raízes e \( n=1,2, \cdots, 8 \).
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A imagem representada acima foi gerada por um caleidoscópio, artefato formado por pedaços de vidro de diversas cores e colocados entre dois ou três espelhos planos. Esses pedaços de vidro colorido formam desenhos extremamente belos, que se modificam, simetricamente, à mais leve oscilação do caleidoscópio. Esse artefato, cuja simetria é chamada oitavada, ao ser rotacionado de \( \pi/4 \) radianos, fornece a mesma imagem anteriormente apresentada. Na figura, estão traçados eixos cartesianos ortogonais \( xOy \); cada ponto \( (x, y) \) do plano está identificado com um número complexo \( z = x + iy \), em que \( i \) é a unidade imaginária \( (i^2 = -1) \), e os pontos \( z_1 \), \( z_2 \), ..., \( z_8 \) correspondem às raízes da função polinomial \( p(z) = z^8 - 1 \).
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Se cada número complexo na figura fosse multiplicado por \( z_2 \), a imagem resultante seria a mesma.
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A imagem representada acima foi gerada por um caleidoscópio, artefato formado por pedaços de vidro de diversas cores e colocados entre dois ou três espelhos planos. Esses pedaços de vidro colorido formam desenhos extremamente belos, que se modificam, simetricamente, à mais leve oscilação do caleidoscópio. Esse artefato, cuja simetria é chamada oitavada, ao ser rotacionado de \( \pi/4 \) radianos, fornece a mesma imagem anteriormente apresentada. Na figura, estão traçados eixos cartesianos ortogonais \( xOy \); cada ponto \( (x, y) \) do plano está identificado com um número complexo \( z = x + iy \), em que \( i \) é a unidade imaginária \( (i^2 = -1) \), e os pontos \( z_1 \), \( z_2 \), ..., \( z_8 \) correspondem às raízes da função polinomial \( p(z) = z^8 - 1 \).
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O número \( {\large{z_1+\overline{z}_3 \over z_2}} \) é imaginário puro.
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Duas raízes da função \( p \) pertencem ao gráfico da reta \( 2y=x+1 \).
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O gráfico da função real \( g(x)=x^8-1 \), em que \( x \) é um número real, intercepta os eixos coordenados exatamente duas vezes.
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A imagem representada acima foi gerada por um caleidoscópio, artefato formado por pedaços de vidro de diversas cores e colocados entre dois ou três espelhos planos. Esses pedaços de vidro colorido formam desenhos extremamente belos, que se modificam, simetricamente, à mais leve oscilação do caleidoscópio. Esse artefato, cuja simetria é chamada oitavada, ao ser rotacionado de \( \pi/4 \) radianos, fornece a mesma imagem anteriormente apresentada. Na figura, estão traçados eixos cartesianos ortogonais \( xOy \); cada ponto \( (x, y) \) do plano está identificado com um número complexo \( z = x + iy \), em que \( i \) é a unidade imaginária \( (i^2 = -1) \), e os pontos \( z_1 \), \( z_2 \), ..., \( z_8 \) correspondem às raízes da função polinomial \( p(z) = z^8 - 1 \).
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A figura a seguir mostra, de forma esquemática, a associação de \( n \) espelhos planos que formam uma estrutura fechada. O número de imagens formadas por essa associação de espelhos é igual a \( 2^{n-1} \).
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A imagem representada acima foi gerada por um caleidoscópio, artefato formado por pedaços de vidro de diversas cores e colocados entre dois ou três espelhos planos. Esses pedaços de vidro colorido formam desenhos extremamente belos, que se modificam, simetricamente, à mais leve oscilação do caleidoscópio. Esse artefato, cuja simetria é chamada oitavada, ao ser rotacionado de \( \pi/4 \) radianos, fornece a mesma imagem anteriormente apresentada. Na figura, estão traçados eixos cartesianos ortogonais \( xOy \); cada ponto \( (x, y) \) do plano está identificado com um número complexo \( z = x + iy \), em que \( i \) é a unidade imaginária \( (i^2 = -1) \), e os pontos \( z_1 \), \( z_2 \), ..., \( z_8 \) correspondem às raízes da função polinomial \( p(z) = z^8 - 1 \).
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Se o ângulo entre dois espelhos planos adjacentes for igual a \( x \) graus, um divisor de 360º, então o número de imagens formadas será \( {\large{360 \over x}}-1 \).
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A imagem representada acima foi gerada por um caleidoscópio, artefato formado por pedaços de vidro de diversas cores e colocados entre dois ou três espelhos planos. Esses pedaços de vidro colorido formam desenhos extremamente belos, que se modificam, simetricamente, à mais leve oscilação do caleidoscópio. Esse artefato, cuja simetria é chamada oitavada, ao ser rotacionado de \( \pi/4 \) radianos, fornece a mesma imagem anteriormente apresentada. Na figura, estão traçados eixos cartesianos ortogonais \( xOy \); cada ponto \( (x, y) \) do plano está identificado com um número complexo \( z = x + iy \), em que \( i \) é a unidade imaginária \( (i^2 = -1) \), e os pontos \( z_1 \), \( z_2 \), ..., \( z_8 \) correspondem às raízes da função polinomial \( p(z) = z^8 - 1 \).
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Entre as raízes da função \( p \), estão \( (\cos (3 \pi/2) \), \( \sin(3 \pi/2)) \) e \( {\large{1 \over \sqrt2}}(1,1) \).
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A figura acima ilustra a situação denominada “efeito dominó”, na qual são enfileiradas várias peças de dominó apoiadas no chão sobre sua menor base. Ao se derrubar a primeira peça, todas as demais caem sequencialmente, uma após a outra. Suponha que, em um arranjo hipotético, uma infinidade de peças de dominó tenha sido corretamente emparelhada em uma única fileira e que a cada uma delas tenha sido atribuído um número inteiro positivo, de acordo com a ordem em que elas caíam. Assim, por exemplo, a peça de número 13 é a décima terceira a cair. Nesse arranjo, a primeira peça é amarela, as peças correspondentes a números primos são vermelhas e as demais são pretas.
É relevante saber que o jogo de dominó duplo-6 é constituído de peças na forma de retângulo. Uma linha divide ao meio cada retângulo, e cada metade do retângulo é marcada com um a seis pontos (indicando valores numéricos) ou nenhum ponto (zero). Considere que a notação i-j — 0 \( \le \) i, j \( \le \) 6 — significa que uma metade do retângulo é marcada com i pontos, e a outra, com j pontos. Nessa notação, as peças do dominó são: 0-0; 0-1; 0-2; þ; 0-6; 1-1; 1-2; þ; 1-6; 2-2; 2-3; etc. Abaixo estão ilustradas algumas peças desse jogo.
Assinale a opção que apresenta corretamente a peça de dominó em que os pontos marcados em suas metades correspondem aos valores das expressões logarítmicas inseridas na peça de dominó representada acima.
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A figura acima ilustra a situação denominada “efeito dominó”, na qual são enfileiradas várias peças de dominó apoiadas no chão sobre sua menor base. Ao se derrubar a primeira peça, todas as demais caem sequencialmente, uma após a outra. Suponha que, em um arranjo hipotético, uma infinidade de peças de dominó tenha sido corretamente emparelhada em uma única fileira e que a cada uma delas tenha sido atribuído um número inteiro positivo, de acordo com a ordem em que elas caíam. Assim, por exemplo, a peça de número 13 é a décima terceira a cair. Nesse arranjo, a primeira peça é amarela, as peças correspondentes a números primos são vermelhas e as demais são pretas.
É relevante saber que o jogo de dominó duplo-6 é constituído de peças na forma de retângulo. Uma linha divide ao meio cada retângulo, e cada metade do retângulo é marcada com um a seis pontos (indicando valores numéricos) ou nenhum ponto (zero). Considere que a notação i-j — 0 \( \le \) i, j \( \le \) 6 — significa que uma metade do retângulo é marcada com i pontos, e a outra, com j pontos. Nessa notação, as peças do dominó são: 0-0; 0-1; 0-2; þ; 0-6; 1-1; 1-2; þ; 1-6; 2-2; 2-3; etc. Abaixo estão ilustradas algumas peças desse jogo.
A respeito da situação apresentada, julgue o item.
Considere que as peças de dominó tenham altura L e estejam à distância a, uma da outra. Nesse caso, conclui-se que, para todo \( 0 < a < {\large{L \over \sqrt2}} \), desprezando-se a espessura das peças, uma peça, ao cair (sem deslizar) sobre a seguinte e gerando uma força F, produz sobre essa outra peça um torque cujo módulo \( F {\large{a^2 \over L}} \).
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