Seja um modelo não linear dado por:

\( x_k = M(x_{k-1}) + q_{k-1},\,\,\,\,\,\,\, q_{k-1}\sim N(0,Q);\\y_k = H(x_k) + r_k, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, r_k \sim N(0,R), \)

em que: \( x_k \) é um vetor de estados de n dimensões em um dado instante de tempo \( k \); \( M \) e \( H \) são mapeamentos não-lineares de \( R^n \) para \( R^n \) e de \( R^m \) para \( R^m \), respectivamente; \( q \) e \( r \) são vetores aleatórios gaussianos de média nula e covariância \( Q \) e \( R \), respectivamente.

Considere a implementação de um Filtro de Kalman por Conjunto (Ensemble Kalman Filter - EnKF) com 1000 pontos representando possíveis estados. Cada um dos 1000 pontos é denotado \( x^{(i)}_t \), onde \( i \) é inteiro e varia de 1 a 1000.

Considere, ainda, que a média dos pontos do conjunto no instante \( k \) pode ser representada por \( \overline{x_k}=\Sigma^{1000}_{i=1}\dfrac{x^{(i)}_k}{1000} \), e que o ganho de Kalman no instante \( k \) é geralmente representado pelo produto de uma matriz \( A \) pela inversa de uma matriz \( B(K_k = AB^{-1}) \).

Considerando as condições enunciadas acima, para garantir estimativas de covariâncias não enviesadas, a matriz \( A \) pode ser calculada pela expressão: