Um aluno escreveu em seu caderno:
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1 Mostremos que, para qualquer \( ∈ > 0 \) existe \( \delta > 0 \) tal que: 2 \( 0 < |x - 1| < \delta ⇒ | (3x + 2) - 5| > ∈ \) 3 Assim: 4 \( |(3x + 2) - 5| > ∈ ⇔ |3x - 3| > ∈ ⇔ 3| x- 1| > ∈ ⇔ |x - 1| > { \large ∈ \over 3} \) 5 Escolhido \( \delta = { \large ∈ \over 3} \), teremos: 6 \( ∀ ∈ > 0, ∃ \delta = { \large ∈ \over 3} > 0 | 0 < |x - 1| < \delta ⇒ | (3x + 2) - 5| < ∈ \) 7 De fato: 8 \( 0 < x - 1 < \delta = { \large ∈ \over 3} ⇒ |x - 1| < { \large ∈ \over 3} ⇒ 3x - 1 ∈ ⇒ \) 9 \( ⇒ |3x - 3| < ∈ ⇒ |(3x + 2) - 5| < ∈ \) |
Em dúvida quanto à sua demonstração, tal aluno mostrou-a a seu professor e descobriu que cometera alguns erros. O professor, então, propôs que os dois juntos revisassem e corrigissem os erros. Assim, serão corrigidas, na demonstração, as linhas em que estão presentes os erros cometidos pelo aluno, são elas:
