Um professor de matemática, após concluir sua aula sobre os números complexos, recebeu um questionamento curioso.

O aluno pediu uma explicação a respeito da seguinte igualdade:

\( -1 \, = \, i \, \cdot \, i \, = \, \sqrt{-1} \, \cdot \, \sqrt{-1} \, = \, \sqrt{(-1) \cdot (-1)} \, = \, \sqrt{1} \, = \, 1, \)

que para ele se tratava de um paradoxo. O professor, visando explicar onde estava o erro na igualdade apresentada, dividiu em afirmativas (descritas abaixo) cada etapa do processo percorrido pelo aluno.

I - \( -1 \, = \, i \, \cdot \, i \)

II - \( i \, \cdot \, i \, = \, \sqrt{-1} \, \cdot \, \sqrt{-1} \)

III - \( \sqrt{-1} \, \cdot \, \sqrt{-1} \, = \, \sqrt{(-1) \, \cdot \, (-1)} \)

IV - \( \sqrt{(-1) \, \cdot \, (-1)} \, = \, \sqrt{1} \)

V - \( \sqrt{1} \, = \, 1 \)

Analise as afirmativas a seguir referentes às etapas que o aluno percorreu para obter a igualdade.