Um professor de matemática, após concluir sua aula sobre os números complexos, recebeu um questionamento curioso.

O aluno pediu uma explicação a respeito da seguinte igualdade:

\( -1 \, = \, i \, \cdot \, i \, = \, \sqrt{-1} \, \cdot \, \sqrt{-1} \, = \, \sqrt{(-1) \cdot (-1)} \, = \, \sqrt{1} \, = \, 1, \)

que para ele se tratava de um paradoxo. O professor, visando explicar onde estava o erro na igualdade apresentada, dividiu em afirmativas (descritas abaixo) cada etapa do processo percorrido pelo aluno.

I - \( -1 \, = \, i \, \cdot \, i \)

II - \( i \, \cdot \, i \, = \, \sqrt{-1} \, \cdot \, \sqrt{-1} \)

III - \( \sqrt{-1} \, \cdot \, \sqrt{-1} \, = \, \sqrt{(-1) \, \cdot \, (-1)} \)

IV - \( \sqrt{(-1) \, \cdot \, (-1)} \, = \, \sqrt{1} \)

V - \( \sqrt{1} \, = \, 1 \)

Analise as afirmativas a seguir referentes às etapas que o aluno percorreu para obter a igualdade.

A solução geral da EDO linear \( \dfrac {dy} {dt} \, + \, 2y \, = \, e^t \) é igual a:

Seja \( v \, = \, (a,b), \) com a,b \( \in \, \mathbb{R}, \) um vetor do \( \mathbb{R}^2. \) Considere que foram realizadas as sucessivas transformações de reflexão em relação ao eixo \( x, \) reflexão em relação ao eixo \( y, \) contração na direção \( x \) de fator igual a 3/4 unidades e rotação de 45° no sentido anti-horário, no vetor \( v. \)

Após realizadas essas sucessivas transformações, a nova coordenada do vetor \( v \) será:

Considere o operador \( A:\mathbb{R}^3 \, \rightarrow \, \mathbb{R}^2 \) definido por \( A(x,y,z) \, = \, (x - y - z, 2z - x). \)

Analise as afirmativas a seguir.

I - A é um operador linear.

II - A é uma transformação linear.

III - Ker(A)={0}, onde Ker(A) é o núcleo de A.

IV - dim (Im(A^t )) = 2.

V - Uma base para Im(A) é {(1,-1),(-1,0)}.

Estão CORRETAS as afirmativas:

Analise as afirmativas a seguir.

I. O conjunto \( X \, \subset \, \mathbb{R}^3 \) formado pelos vetores \( v \, = \, (x, \, y, \, z) \) tais que \( z \, = \, 3x \) e \( x \, = \, 2y \) é um subespaço vetorial.

II. O conjunto \( S_1 \, = \, \{(0,1,0,1,0), \, (1,0,1,0,1)\} \) forma uma base para o espaço vetorial. \( W \, = \, \{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \, \in \, \mathbb{R}^5 \, \mid \, x_2 \, - \, x_3 \, + \, x_5 \, = \, 0 \) e \( x_1 \, - \, x_4 \, = \, 0\} \) e assim dim(W) = 2.

III. O conjunto \( S_2 \, = \, \{ v_1,v_2,v_3\}, \) onde \( v_1 \, = \, (1,0, -1), \, v_2 \, = \, (2,-1,1), \, v_3 \, = \, (-3,2,1), \) é uma base para o espaço vetorial \( \mathbb{R}^3. \)

IV. Os polinômios \( p_1 \, = \, 1 \, - \, x, \, p_2 \, = \, 5 \, + \, 3x \, - \, 2x^2 \) e \( p_3 \, = \, 1 \, +\, 3x - x^2 \) são linearmente dependentes.

V. A transformação linear \( T(x,y,z) \, = \, (x + y + z, 2x + 4y + 8z, 5x + 7y + 11z) não é injetiva. \)

Estão CORRETAS as afirmativas:

A área da região limitada pelo gráfico de \( \varphi (x) \, = \, x^2 \, \sqrt{x \, + \, 2}, \) pelo eixo x e pela reta \( x \, = \, 1, \) é igual a:

A integral \( \int \, \dfrac {x-3} {x^2-4x-5} \, dx \) é igual a:

Considere um sólido que possui a forma de um prisma reto de altura \( h \) e base hexagonal regular com aresta medindo \( \ell \). Sabendo que a área da superfície (área total) deve ser igual a 12\( \sqrt{3} \), assinale a alternativa que apresenta os valores de \( \ell \) e \( h \) para que o volume do sólido seja máximo.

Seja a função g: \( \mathbb{R} \, \rightarrow \, \mathbb{R} \) definida por \( g(\times) \, = \, \begin {cases} \dfrac {x^3 \, +1} {x} \,\, se \,\, x \,\, \ne \,\, 0 \\ \,\,\,\,\, 3 \,\,\,\,\, se \,\, x \,\, = \,\, 0 \end {cases}. \)

Analista as afirmativas a seguir.

I. A função g(x) é contínua no ponto x = 0.

II. No intervalo \( ] \dfrac {1} {2}, \, 2[ \) a função g(x) admite ponto mínimo em \( \begin {pmatrix} \dfrac { \sqrt[3]{4}} {2}\, , \, \dfrac {3\sqrt[3]{2}} {2} \end {pmatrix}. \)

III. \( lim \\ x \rightarrow 0 \) \( g(x) \, = \, \infty. \)

IV. Dado \( x_0 \, \ne \, 0, \) temos que a equação da reta tangente ao ponto \( (x_0, g(x_0)) \) é \( y \, = \, 2x_0x \, - \, x^2_0 \, + \, \dfrac {2} {x_0} \, - \, \dfrac {x} {x^2_0}. \)

V. \( lim \\ x \, \rightarrow \, 0 \) \( g'(x) \, = \, \infty. \)

Estão CORRETAS as afirmativas:

Considere a função \( f \, : \, \mathbb{R} \, - \, {9} \, \rightarrow \, \mathbb{R}, \) definida por:

\( f(x) \, = \, \dfrac {6x \, - \, 2x \sqrt{x} \, + \, 2 \sqrt{x} \, - \, 6} { x \, - \, 9} \)

Assinale a alternativa que apresenta o valor do \( lim \\ x \, \rightarrow \, 9 \) f(x).