Texto para a questão.

No problema do oscilador harmônico unidimensional, uma partícula de massa m está sujeita a um potencial !$ V(x) = m \omega^2 x^2/2 !$, em que !$ \omega !$ é a frequência clássica do oscilador. Classicamente, a constante de mola é dada por !$ K = m \omega^2 !$.

Operadores tipo escada permitem obter os autovalores de energia sem que haja a necessidade de resolver diretamente a equação de Schrödinger. Nesse sentido, os operadores a (operador de aniquilação) e a^ (operador de criação) são essenciais na representação dos operadores posição, !$ x = \sqrt{ \hbar /2m \omega} (a^+ a) !$, e momento linear, !$ p = \sqrt{ \hbar m \omega/ 2} (a^+ - a) !$.

Considerando inicialmente o autoestado !$ | \Psi_n \rangle !$ do hamiltoniano H correspondente ao autovalor !$ E_n = ( n + 1/2 \hbar \omega !$, a aplicação do operador a produz um autovetor associado com autovalor !$ E_{n-1} = ( n + 1/2) \hbar \omega - \hbar \omega !$, e a aplicação de a⁺ produz energia !$ E_{n +1} = (n + { \large 1 \over 2} \hbar \omega + \hbar \omega !$. Além disso, sejam !$ | \Psi_n \rangle !$ e !$ | \Psi_{n \pm 1} \rangle !$ normalizadas, !$ a^+ | \Psi_n \rangle = \sqrt{n +1} | \Psi_{n+1} \rangle, a| \Psi_n \rangle = \sqrt{n} | \Psi_{n-1} \rangle !$, !$ a^+ a | \Psi_n \rangle = n | \Psi_n \rangle !$ e !$ a a^+| \Psi_n \rangle = ( n + 1) | \Psi_n \rangle !$.