A resposta descrita pelos estados de um sistema dinâmico possui duas componentes: resposta natural e resposta forçada. De particular interesse é a resposta natural, a qual depende apenas da matriz de transição de estados \( \phi(t) \) e das condições iniciais desses estados. Considere um determinado sistema dinâmico linear e invariante no tempo, cuja matriz de estados pode ser fatorada em \( MLM^{−1} \) , onde as matrizes L e M são definidas por

\( L=\begin{bmatrix} -2&0\\0&-1 \end{bmatrix} \) e
\( M=\begin{bmatrix} 1&0\\-3&2 \end{bmatrix} \).

A matriz de transição de estados \( \phi(t) \) desse sistema é: