Com relação às funções de uma variável real, analise as proposições abaixo.

I - Se f é uma função contínua em um intervalo aberto contendo !$ x = x_0 !$, e f tem um máximo local em !$ x = x_0 !$, então !$ f^{ \prime} (x_0) = 0 !$ e !$ f^"(x_0)< 0 !$.

II - Se f é uma função derivável em um intervalo aberto contendo !$ x = x_0 !$, e !$ f^{ \prime} (x_0) = 0 !$, então f tem um máximo ou um mínimo local em !$ x = x_0 !$

III - Se f é uma função real de variável real com derivada estritamente positiva em todo o seu domínio, então f é crescente em todo o seu domínio

IV - Se !$ \underset { x \rightarrow a} { \lim} f(x) =1 !$ e !$ \underset { x \rightarrow a} { \lim} g(x) !$ é infinito, então !$ \underset { x \rightarrow a}{\lim} (f(x))^{g(x)}=1 !$

V - Se f é uma função real de variável real, derivável !$ \forall x\,\in\, \mathfrak{R} !$, então !$ \underset { s \rightarrow 0} { \lim} { \Large { f(x) - f(x - 2s) \over 2s}} = 2 f^{ \prime}(x) !$.

Assinale a opção correta.