Considere w= f(x,y,z) uma função diferenciável num subconjunto aberto D do !$ \mathfrak{R}^3 !$ contendo o ponto P. Se a derivada de f em P é máxima na direção e sentido do vetor !$ \vec{v} = -\vec{i} + \vec{j} + \vec{K} !$ e nessa direção e sentido, o valor da derivada direcional é !$ 2 \sqrt{3} !$, então a derivada de f em P na direção do vetor !$ \vec{u} = -\vec{j} + \vec{K} !$ é:

Qual é limitada o valor da área, em m², da região R do plano xy pela limaçon !$ x^2 + y^2 - \sqrt{x^2 + y^2} - y = 0 !$?

Sabendo que o gráfico da equação !$ y^4 - 5y^2 = x^4 - 9x^2 -4 !$, no plano xy, representa uma função !$ y = f(x) !$ numa vizinhança do ponto (x_o,Y_o)=(3,2), qual é o valor aproximado para !$ y = f(x) = f \left ( { \Large { 31 \over 10}} \right) !$ fornecido pela linearização (reta tangente) de f em x₀ =3?

o rotacional do campo vetorial !$ \vec{V}(x, y,z) = (1, x^2 + y, z + y),\,\,x,y,z\,\in\, \mathfrak{R} !$, é o vetor:

Qual é o divergente do campo vetorial !$ \vec{F}(x,y,z)= (2x, y- x, z^2+ e^x) !$, !$ x,y, z\,\in\,\mathfrak{R} !$ no ponto (1,1,0)?

Considere W a região do !$ \mathfrak{R} !$ interseção das três regiões seguintes: região exterior à esfera !$ x^2 + y^2 + z^2 =4z !$, região interior à esfera x² +y² +z² =16 e região no semiespaço !$ z \ge 0 !$. Qual é a definição de W no sistema de coordenadas esféricas, considerando !$ \theta !$ = ângulo em coordenadas polares da projeção de (x,y,z) no plano xy?

A curva, no plano yz , de equação z = 1 + y², gira em torno do eixo y definindo uma superfície S de revolução de !$ \mathfrak{R}^3 !$. Sendo assim, qual é a equação cartesiana de S?

Coloque V (verdadeiro) ou F (falso) nas afirmativas abaixo e, a seguir, assinale a opção que apresenta a sequência correta.

( ) Dois planos que possuem 3 pontos em comum são coincidentes.

( ) Se duas retas r e s do !$ \mathfrak{R}^3 !$ são perpendiculares a uma reta t, então ressão paralelas.

( ) Duas retas concorrentes no !$ \mathfrak{R}^3 !$ determinam um único plano.

( ) Se dois planos A e B são perpendiculares a um outro plano C, então os planos A e B são paralelos.

( ) Se duas retas r e s em !$ \mathfrak{R}^3 !$ são paralelas a um plano A, então r e s são paralelas.

Se G é a região do !$ \mathfrak{R}^3 !$ limitada superiormente pelo parabolóide !$ z = 2 - x^2 - y^2 !$ e inferiormente pela semiesfera !$ z = 1 - \sqrt{1 -x^2 - y^2} !$, então o volume de G, em coordenadas cilíndricas, é calculado por:

Um ponto P(x,y) do plano xy, move-se ao longo da curva plana de equação x² + 4y² = 1, com y >0. Se a abscissa X está variando a uma velocidade !$ { \Large { dx \over dt}}= sen 4t !$, pode-se afirmar que a ordenada y, está variando a uma velocidade !$ { \Large { dy \over dt}} !$ igual a: