Suponha que na estimação de um parâmetro unidimensional você esteja pensando em usar um certo estimador T; você percebe que esse estimador é não viesado para e que sua variância coincide com o limite inferior de Cramér-Rao. Nesse caso, avalie as seguintes afirmativas acerca desse estimador T:

I – Nenhum outro estimador de tem variância menor que a de T.

II – T é um estimador não viesado de variância uniformemente mínima para .

III – A densidade populacional parametrizada por pertence à classe exponencial.

A(s) afirmativa(s) correta(s) é/são somente:

Se X₁, X₂,..., X_n representa uma amostra aleatória simples de uma distribuição exponencial com média 1/ desconhecida e se a distribuição a priori de é uma distribuição gama com parâmetros então a distribuição a posteriori de dado que X_i = x_i, i = 1, 2,..., n é uma distribuição gama com parâmetros:

O critério da fatoração pode ser um bom recurso para a determinação de estatísticas suficientes. De um modo geral, esse critério diz que se X₁, X₂,..., X_n representa uma amostra aleatória simples de uma densidade parametrizada por um vetor de parâmetros , então um conjunto de estatísticas T₁ = t₁(X₁, X₂,..., X_n), (T₂ = t₂(X₁, X₂,..., X_n),..., T_k = t_k(X₁, X₂,..., X_n) é conjuntamente suficiente para se a função de densidade de probabilidade conjunta de X₁, X₂,..., X_n pode ser fatorada como:

Se X₁, X₂,..., X_n representa uma amostra aleatória simples de uma variável aleatória X normalmente distribuída com média µ e desvio padrão desconhecidos, então o estimador de máxima verossimilhança de E[ X² ] é dado por:

Seja X uma variável aleatória cuja função geratriz de momentos é dada por

O valor de é:

Sorteiam-se ao acaso e sem reposição dois cartões de uma urna contendo cartões numerados de 1 a 5. Sejam as variáveis aleatórias X₁ , o primeiro número sorteado e X ₂ , o segundo número sorteado, pode-se afirmar que as variáveis aleatórias X₁ e X ₂ são:

O conjunto de valores de para o qual f(x) é uma função de densidade de probabilidade é:

Em uma cidade de população numerosa, uma amostra aleatória simples de tamanho 100 é coletada para avaliar a opinião sobre um projeto municipal. A amostra revelou 60 favoráveis ao projeto e 40 contrários. Se, de fato, os adultos dessa cidade estão igualmente divididos com relação ao projeto (50% são favoráveis e 50% são contrários), a probabilidade de se obter maioria de 60 ou mais a favor, numa amostra aleatória simples de tamanho 100, é, aproximadamente:

A única família de distribuições paramétricas de probabilidade (não-degenerada) que satisfaz a condição de que a média deve ser maior do que a variância, entre as alternativas a seguir, é a: