Construa um intervalo de 95% de confiança para a média de uma população normal a partir dos dados de uma amostra aleatória simples de tamanho 64 desta população, que forneceu uma média de 48 e um desvio-padrão amostral de 16, considerando que Φ(1,96) = 0,975, onde Φ(z) é a função de distribuição de uma variável aleatória normal padrão Z.

Em muitas situações práticas são realizadas observações sobre um número grande de variáveis correlacionadas e, nesse caso, é natural procurar-se maneiras de reduzir a dimensão do problema, isto é, do número de variáveis a serem estudadas, sem sacrificar muito a informação acerca das variáveis contidas na matriz de covariância. Em uma determinada técnica de análise multivariada, desenvolvida por Hotelling, os eixos coordenados representando as variáveis originais são rotacionados para dar origem a um novo sistema de coordenadas representando variáveis com certas propriedades ótimas de suas variâncias, o que equivale a fazer uma transformação ortogonal especial das variáveis originais. Assim, a primeira nova variável é a combinação linear normalizada das variáveis originais com máxima variância. A segunda nova variável é a combinação linear normalizada das variáveis originais com máxima variância entre todas as combinações lineares não correlacionadas com a primeira nova variável e assim por diante. Então a técnica acaba por caracterizar ou explicar a variabilidade de um vetor de variáveis substituindo-o por um novo vetor com um número menor de variáveis com grandes variâncias.

Uma população de indivíduos é constituída 80% por um tipo genético A e 20% por uma variação genética B. A probabilidade de um indivíduo do tipo A ter determinada doença é de 5%, enquanto a probabilidade de um indivíduo com a variação B ter a doença é de 40%. Dado que um indivíduo tem a doença, qual a probabilidade de ele ser da variação genética B?

Calcule o valor mais próximo do desvio-padrão da amostra representada pela distribuição de freqüências abaixo representada pelos pontos médios das classes x e respectivas freqüências f.

Dado o conjunto de dados da questão anterior, determine a amplitude interquartílica Q₃ - Q₁.

Observação - Conjunto de dados da questão anterior: 58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 56.

Em determinadas circunstâncias, uma variável aleatória binomial pode ser bem aproximada por uma variável aleatória normal. Seja X uma variável aleatória binomial com n=400 e p=1/2. Calcule o valor mais próximo de P(181 ≤ X ≤ 219) usando a aproximação da variável binomial pela normal, dado que Φ(1,96) = 0,975, Φ(2,17) = 0,985, Φ(2,33) = 0,99, Φ(2,41) = 0,992 e Φ(2,58) = 0,995, onde Φ(z) é a função de distribuição de uma variável aleatória normal padrão Z.

Seja X a soma de n variáveis aleatórias independentes de Bernoulli, isto é, que assumem apenas os valores 1 e 0 com probabilidades p e 1-p, respectivamente.

A distribuição de freqüências de um conjunto de dados apresentou um momento de terceira ordem centrado em relação à média amostral m₃ = -8 e um momento de segunda ordem centrado em relação à média amostral m₂ = 4. O valor do coeficiente m₃ / m₂^3/2 permite concluir que essa distribuição de freqüências: