A densidade da distribuição normal bivariada pode ser escrita na forma

\( f(x_1, \, x_2) = {1 \over 2 \pi \sigma_1 \sigma_2 (1- \rho^2)^{1 \div 2}} \times \exp \Bigl ( {-1 \over 2(1- \rho^2)} \Bigl [ \left ( {x_1 - \mu_1 \over \sigma _ 1} \right )^2 - 2 \rho \left ( {x_1 - \mu_1 \over \sigma_1}\right ) \left ( {x_2 - \mu_2 \over \sigma_2}\right ) + \left ( {x_2 - \mu_2 \over \sigma_2}\right )^2 \Bigr ] \Bigr ) \)

em que \( \mu \), é a expectância de \( X_i, \quad \sigma^2_i = \sigma_{i,i} \) é a variância de \( X_i \) para \( i = 1 \) e \( 2 \) e \( \rho = {\sigma_{1,2} \over \sigma_{1} \times \sigma_{2}} \) é o coeficiente de correlação linear entre \( X_1 \) e \( X_2 \).

Considerando essas informações e a função de densidade bivariada \( f\,(x,y)\,=\,{3\,\over\,4\,\pi\,\sqrt{2}}\,\mathrm{exp}\,{\Bigl[}\,{-9\,\over\,16}\,{(x^2\,-\,{2\,\over\,3}\,xy\,+\,y^2)\,{\Bigr]}} \), para \( x \) e \( y \) reais, julgue o próximo item.

A função densidade de probabilidade de X, dado que Y = y é expressa por \( \mathrm{\,{3\,\over\,4\,\sqrt{\pi}}\,exp\,{\Bigl[}\,{-1\,\over\,16}\,(3\,x\,-\,y)^2\,{\Bigr]}}. \)

A densidade da distribuição normal bivariada pode ser escrita na forma

\( f(x_1, \, x_2) = {1 \over 2 \pi \sigma_1 \sigma_2 (1- \rho^2)^{1 \div 2}} \times \exp \Bigl ( {-1 \over 2(1- \rho^2)} \Bigl [ \left ( {x_1 - \mu_1 \over \sigma _ 1} \right )^2 - 2 \rho \left ( {x_1 - \mu_1 \over \sigma_1}\right ) \left ( {x_2 - \mu_2 \over \sigma_2}\right ) + \left ( {x_2 - \mu_2 \over \sigma_2}\right )^2 \Bigr ] \Bigr ) \)

em que \( \mu \), é a expectância de \( X_i, \quad \sigma^2_i = \sigma_{i,i} \) é a variância de \( X_i \) para \( i = 1 \) e \( 2 \) e \( \rho = {\sigma_{1,2} \over \sigma_{1} \times \sigma_{2}} \) é o coeficiente de correlação linear entre \( X_1 \) e \( X_2 \).

Considerando essas informações e a função de densidade bivariada \( f\,(x,y)\,=\,{3\,\over\,4\,\pi\,\sqrt{2}}\,\mathrm{exp}\,{\Bigl[}\,{-9\,\over\,16}\,{(x^2\,-\,{2\,\over\,3}\,xy\,+\,y^2)\,{\Bigr]}} \), para \( x \) e \( y \) reais, julgue o próximo item.

As densidades marginais seguem uma distribuição N(0, 1).

A densidade da distribuição normal bivariada pode ser escrita na forma

\( f(x_1, \, x_2) = {1 \over 2 \pi \sigma_1 \sigma_2 (1- \rho^2)^{1 \div 2}} \times \exp \Bigl ( {-1 \over 2(1- \rho^2)} \Bigl [ \left ( {x_1 - \mu_1 \over \sigma _ 1} \right )^2 - 2 \rho \left ( {x_1 - \mu_1 \over \sigma_1}\right ) \left ( {x_2 - \mu_2 \over \sigma_2}\right ) + \left ( {x_2 - \mu_2 \over \sigma_2}\right )^2 \Bigr ] \Bigr ) \)

em que \( \mu \), é a expectância de \( X_i, \quad \sigma^2_i = \sigma_{i,i} \) é a variância de \( X_i \) para \( i = 1 \) e \( 2 \) e \( \rho = {\sigma_{1,2} \over \sigma_{1} \times \sigma_{2}} \) é o coeficiente de correlação linear entre \( X_1 \) e \( X_2 \).

Considerando essas informações e a função de densidade bivariada \( f\,(x,y)\,=\,{3\,\over\,4\,\pi\,\sqrt{2}}\,\mathrm{exp}\,{\Bigl[}\,{-9\,\over\,16}\,{(x^2\,-\,{2\,\over\,3}\,xy\,+\,y^2)\,{\Bigr]}} \), para \( x \) e \( y \) reais, julgue o próximo item.

A densidade é simétrica em relação aos eixos \( x \) e \( y \).

O controle interno das práticas violentas por parte da polícia pode ser realizado, no Brasil, pelas ouvidorias de polícia.

A população de um país é dividida em classes alta (A), média (M) e baixa (B). Um estudo estatístico mostra que, atualmente, 10% da população pertence à classe A, 40% à classe M e 50% à classe B. Considera-se um modelo simplificado para as mudanças de classes, na forma de uma cadeia de Markov, em que as mudanças de uma geração para a próxima acontecem de acordo com a seguinte matriz de transição:

Assim, por exemplo, as probabilidades dos filhos de uma família da classe M pertencerem às classes A, M ou B são iguais a 10%, 60% e 30%, respectivamente.

Com base nessa situação hipotética, julgue o item subsequente.

Na hipótese de que o modelo tenha sido válido para a formação da geração atual, então as classes A, M e B na geração anterior eram formadas por 5%, 30% e 65% da população, respectivamente.

A população de um país é dividida em classes alta (A), média (M) e baixa (B). Um estudo estatístico mostra que, atualmente, 10% da população pertence à classe A, 40% à classe M e 50% à classe B. Considera-se um modelo simplificado para as mudanças de classes, na forma de uma cadeia de Markov, em que as mudanças de uma geração para a próxima acontecem de acordo com a seguinte matriz de transição:

Assim, por exemplo, as probabilidades dos filhos de uma família da classe M pertencerem às classes A, M ou B são iguais a 10%, 60% e 30%, respectivamente.

Com base nessa situação hipotética, julgue o item subsequente.

Na próxima geração, 13% da população pertencerá à classe A, 35% à classe M e 52% à classe B.

A população de um país é dividida em classes alta (A), média (M) e baixa (B). Um estudo estatístico mostra que, atualmente, 10% da população pertence à classe A, 40% à classe M e 50% à classe B. Considera-se um modelo simplificado para as mudanças de classes, na forma de uma cadeia de Markov, em que as mudanças de uma geração para a próxima acontecem de acordo com a seguinte matriz de transição:

Assim, por exemplo, as probabilidades dos filhos de uma família da classe M pertencerem às classes A, M ou B são iguais a 10%, 60% e 30%, respectivamente.

Com base nessa situação hipotética, julgue o item subsequente.

De acordo com o modelo apresentado, os netos de uma família da classe B têm 70% de probabilidade de pertencer a essa mesma classe e 3% de probabilidade de pertencer à classe A.

O Teorema de Transformação Inversa afirma que se \( U \) for uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo [0, 1] e se \( F \) for uma função de distribuição (acumulada) de uma variável aleatória contínua, então \( X = F^{-1}(U) \) tem função de distribuição \( F \). Considerando essa informação e a função acumulada da distribuição logística \( F(x) = { 1 \over 1 + e^{- (x - a)/ \beta}} \) em que \( \beta > 0 \), julgue o item seguinte no qual os números \( u_i \) representam realizações da variável \( U \) acima.

Os valores \( x_i = {1 \over u_i^{1/3}} - 1 \) representam realizações da variável aleatória em que \( f(x) = {3 \over (x + 1)^4} \), para \( x \ge 0 \), é função densidade de probabilidade.

O Teorema de Transformação Inversa afirma que se \( U \) for uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo [0, 1] e se \( F \) for uma função de distribuição (acumulada) de uma variável aleatória contínua, então \( X = F^{-1}(U) \) tem função de distribuição \( F \). Considerando essa informação e a função acumulada da distribuição logística \( F(x) = { 1 \over 1 + e^{- (x - a)/ \beta}} \) em que \( \beta > 0 \), julgue o item seguinte no qual os números \( u_i \) representam realizações da variável \( U \) acima.

Os valores \( \mathrm{\,x_i\,=\,{-\,{1\,\over\,5}ln\,[\,{1\,\over\,u_i}\,-1]}} \) representam realizações de uma variável aleatória logística.

O Teorema de Transformação Inversa afirma que se \( U \) for uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo [0, 1] e se \( F \) for uma função de distribuição (acumulada) de uma variável aleatória contínua, então \( X = F^{-1}(U) \) tem função de distribuição \( F \). Considerando essa informação e a função acumulada da distribuição logística \( F(x) = { 1 \over 1 + e^{- (x - a)/ \beta}} \) em que \( \beta > 0 \), julgue o item seguinte no qual os números \( u_i \) representam realizações da variável \( U \) acima.

Os valores da forma \( \mathrm{\,-\,31n\,(1\,-\,\sqrt{u_i}\,)} \) representam realizações de uma variável aleatória com função de distribuição dada por \( F(x) = (1 - e^{-3x})^2 \), para \( x \ge 0 \).