Durante um exercício de Matemática, um aluno anotou os termos de uma progressão aritmética (P.A.) de termos inteiros e positivos com n ≥ 3 termos, de primeiro termo a e razão d > 1. No entanto, ele cometeu um pequeno erro: um dos termos foi anotado com 1 unidade a mais do que o valor correto. Mesmo assim, ao somar todos os termos anotados, ele obteve o total de 222.

Sabendo disso, determine o valor de a + d + n

Um arquiteto desenvolveu o design de uma peça decorativa em formato de pentágono regular, cuja área é √5 + 1. Para criar uma nova versão do objeto, ele decidiu dobrar os cinco vértices da peça em direção ao seu centro, de modo que as pontas coincidissem nesse ponto, formando um novo pentágono menor no interior da figura original. 

Sabendo que o pentágono é regular e que o processo de dobra mantém a simetria da figura, determine a área do novo pentágono formado.

Um octógono regular ABCDEFGH possui área igual a 1 metro quadrado. Qual a área, em metros quadrados, do retângulo ABEF representado na figura abaixo?

Um engenheiro civil está projetando o arco decorativo de uma ponte. Para o cálculo da área de revestimento, ele considera o seguinte modelo geométrico:

• Um semicírculo maior, de raio 2, construído sobre o segmento AB;

• Três semicírculos menores, cada um de raio 1, construídos sobre o mesmo diâmetro AB;

• Os centros dos semicírculos menores dividem o segmento AB em quatro partes iguais, conforme ilustrado.

A região sombreada corresponde à parte interna ao semicírculo maior, mas externa aos três semicírculos menores. Qual o valor da área dessa região sombreada?

Um arquiteto paisagista está projetando uma fonte decorativa composta por duas estruturas semicirculares:

• o semicírculo menor, de diâmetro 1, representa a parte superior da fonte;

• o semicírculo maior, de diâmetro 2, representa a base.

A parte sombreada, situada dentro do semicírculo menor e fora do maior, forma uma faixa curva, conhecida em geometria como luna. Qual a área dessa luna?

Um engenheiro está projetando pequenos painéis triangulares de madeira para compor uma estrutura decorativa. Cada painel deve ter perímetro igual a 7 unidades e lados com comprimentos inteiros. Quantos triângulos não congruentes podem ser formados nessas condições?

Considere o número

21! = 21 × 20 × 19 × … × 2 × 1.

Sabe-se que esse número possui mais de 60 mil divisores inteiros positivos. Se um desses divisores é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de ele ser ímpar?

Duas retas no plano cartesiano são dadas pelas equações

ax − 2y = c e 2x + by = −c

Sabendo que essas retas são perpendiculares e que se interceptam no ponto (1, −5), determine o valor de c.