A figura a seguir mostra um pentágono regular de lado 1.

A figura mostra um pentágono A B C D E. O lado AB está na parte de baixo do pentágono. Os vértices do pentágono são A, B, C, D e E e aparecem na figura no sentido anti-horário. Estão desenhadas na figura duas diagonais do pentágono: AD e BE. Essas duas diagonais se encontram no ponto F. O quadrilátero BCDF está sombreado na figura.

A área do quadrilátero BCDF destacado na figura é igual a:

Considere um tabuleiro 2 × 2 como na figura a seguir. Vamos chamar cada um dos quatro quadradinhos do tabuleiro de “casa”. O tabuleiro não pode mudar de posição, em particular, não pode ser girado.

A figura mostra um quadrado dividido em quatro quadrados menores por dois segmentos que se cruzam perpendicularmente.



Sueli quer pintar o tabuleiro com três cores, de modo que duas casas não tenham a mesma cor quando compartilharem um lado. De quantas formas ela pode fazer isso?

Célia e Martinha estão na praia, mas ainda não se encontraram. Célia liga para o celular de Martinha e diz a ela que está a 10 metros do farol e a 20 metros do posto salva-vidas. Martinha responde que também está a essas mesmas distâncias desses dois pontos de referência. No entanto, as duas estão em lugares diferentes. Com essas informações, o que podemos afirmar sobre a distância entre o farol e o posto salva-vidas?

Simplificando a expressão

\(X = \left( \dfrac{\sqrt[3]{18} + \sqrt[3]{12} + 3}{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}} \right)^3 \),

obtemos:

A função f :[0,1] → R é dada por  f (x) = αx² + bx+ c, em que α, b, c são números reais e α ≠ 0. O menor valor da função  f  ocorre para algum x₀ real, 0 < x₀ < 1, ou seja,  f (x₀) ≤  f (x), para qualquer x ∈ [0,1]. Podemos afirmar que:

Seu José deseja construir uma cerca retangular em volta do seu jardim. Ele vai aproveitar parte de um muro já existente como um dos lados do retângulo, como na figura a seguir.
A figura mostra um retângulo que representa o jardim. As duas laterais e o lado de baixo do retângulo representam a cerca. Na parte de cima do retângulo está encostada em uma linha reta mais grossa, cujo comprimento é maior do que a largura do retângulo, e que representa o muro onde o jardim está encostado.




Seu José dispõe de material para fazer 12 metros de cerca. Com isso, ele quer construir os outros três lados do retângulo de modo que a área cercada seja a maior possível. As dimensões do retângulo que tem a maior área possível são, em metros:

Considere as frações    etc. Em geral, para cada    O valor que mais se aproxima do termo x₂₀₂₄ é:

Os dados coletados em um experimento foram registrados na tabela dada a seguir.

Para n = 3 e n = 4, os valores da função f não foram coletados corretamente devido à falha no equipamento. O cientista que trabalhou com esses dados concluiu que é possível modelar o comportamento da função f  por uma função afim, isto é, uma função dada por uma expressão polinomial de primeiro grau.

Com essas informações, a diferença f (4) − f (3) é igual a:

Considerando os números reais x e y, ambos não nulos, a expressão

\( \dfrac{x^3 - x^2y^2 + xy^2 - y^4}{x^2 + y^2} \)

pode ser simplificada para:

Seja R o conjunto dos números reais. A função f : R  → R satisfaz a condição

f  (x + 1) = f (x) + 1

Suponha, ainda, que f (0) = −1. Com essas informações, podemos dizer que f (2024) é igual a: