Em um estudo é considerada a distribuição binomial P_m(x) = C_m^x p^x(1 − p)^m−x, em que x é o número de ocorrências de um acontecimento em m provas, sabendo-se que na i-ésima experiência de uma série de n, comportando m provas cada uma, o acontecimento ocorreu x_i vezes. Deseja-se encontrar, pelo método da máxima verossimilhança, a estimativa pontual do parâmetro p com a qual um acontecimento A ocorre em cada prova, sabendo-se que em 80 experiências de 5 provas cada uma forneceram a distribuição abaixo.
x_i 0 1 2 3 4 5 Total n_i 2 8 20 25 20 5 80
Observação: n_i é o número de experiências nas quais o acontecimento A ocorreu x_i vezes.


O valor da estimativa de p é então, em %, igual a

Seja X uma população { X₁, X₂, X₃, ... , X₁₀₀ } formada por 100 números estritamente positivos com um desvio padrão igual a 4 e com a soma dos quadrados de todos estes 100 números igual a 41.600. Seja Y uma outra população { Y₁, Y₂, Y₃, ... , Y₅₀ } formada por 50 números também estritamente positivos com uma média igual a da população anterior e com a soma dos quadrados de todos estes 50 números igual a 20.200. Os coeficientes de variação de X e de Y

As variáveis aleatórias X e Y representam a altura (em centímetros) dos habitantes de uma cidade e o peso (em quilos) dos habitantes de uma outra cidade, respectivamente. Considera-se que as correspondentes populações de X e Y são normalmente distribuídas e de tamanho infinito. Uma amostra aleatória de tamanho 100 da população de X forneceu um intervalo de confiança, ao nível de confiança de 88%, para a média (μX), em cm, igual a [156,1 ; 163,9], sabendo-se que a variância populacional de X é igual a 625 cm2. Uma amostra aleatória de tamanho 400 da população de Y forneceu um intervalo de confiança, ao nível de confiança de 88%, para a média (μY), em kg, igual a [68,83 ; 71,17]. A variância populacional de Y, em kg² , é igual a

Para resolver à questão , use, dentre as informações abaixo, as que julgar apropriadas. Se Z tem distribuição normal padrão, então:

P(Z < 0,44) = 0,67; P(Z < 0,5) = 0,691; P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,5) = 0,933; P(Z < 2,05) = 0,98.

A renda média de uma comunidade pode ser considerada como sendo uma variável aleatória com distribuição normal com média µ reais e desvio padrão de R$ 400,00. Se a porcentagem da população que tem renda superior a R$ 2.000,00 é de 67%, o valor de μ, em reais, é

Em uma determinada carreira profissional composta por 400 trabalhadores, verifica-se que a média aritmética das alturas de todos os trabalhadores é igual a 170 cm. Sabe-se que a média aritmética das alturas dos 250 trabalhadores do sexo masculino é igual à média aritmética das alturas dos 150 trabalhadores do sexo feminino. Os desvios padrões das alturas dos trabalhadores do sexo masculino e dos trabalhadores do sexo feminino são iguais a 12 cm e 20 cm, respectivamente. A variância (em cm²) das alturas de todos os trabalhadores desta carreira profissional é igual a

Para resolver à questão , use, dentre as informações abaixo, as que julgar apropriadas. Se Z tem distribuição normal padrão, então:

P(Z < 0,44) = 0,67; P(Z < 0,5) = 0,691; P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,5) = 0,933; P(Z < 2,05) = 0,98.



Nestas condições, a probabilidade expressa por P(5 < U < 11), sendo que U é a variável aleatória definida por U = aW com a = [1 , -2], é igual a

De uma população com 1.000 famílias, tomou-se uma amostra aleatória simples de 50 famílias, na qual foram observadas as seguintes variáveis:

X = número de pessoas na família e Y = gasto mensal com saúde, em reais.

O diâmetro de uma peça, em dm, é uma variável aleatória contínua X com função de distribuição acumulada dada por:





Nessas condições, o diâmetro médio da peça, em dm, é igual a

A função densidade de probabilidade da variável bidimensional contínua (X,Y) é dada por:





Onde K é a constante adequada para tornar f(x) uma função densidade de probabilidade.

Nessas condições, a esperança condicional de X, dado que Y é igual a 1/6, denotada por E (X|Y = 1/6), é igual a

Sabe-se que a variável aleatória contínua X tem função densidade de probabilidade dada por:



Onde K é a constante adequada para tornar f(x) uma função densidade de probabilidade. Sejam: μ e θ, respectivamente, a média e a mediana de X. Nessas condições, μ + 2 θ é igual a