Em uma grande região de um país, uma empresa (E₁) foi contratada para elaborar uma pesquisa referente a um atributo X, correspondente a uma população considerada normal, de tamanho infinito, média μ desconhecida e variância populacional igual a 144. Considerando uma amostra aleatória de tamanho 64, esta empresa apurou um intervalo de confiança com um nível de confiança (1 − α) para μ igual a [99,0; 105,0]. Uma outra empresa (E₂) trabalhando independentemente da primeira, na mesma região, também elaborou uma pesquisa referente ao atributo X utilizando uma amostra de tamanho 400 e encontrando uma média amostral igual a 104,5. O intervalo de confiança para μ com um nível de confiança (1 − α) encontrado por E₂ foi de

De uma variável aleatória X uniformemente distribuída no intervalo (0, θ) é extraída uma única observação com vista a testar a hipótese H₀: θ = 10 (hipótese nula) contra H₁: θ > 10 (hipótese alternativa). O critério de decisão consiste em rejeitar H₀ caso o valor observado exceder 8. A probabilidade de ser cometido um erro tipo II, admitindo que o verdadeiro valor de θ seja 12, é de

Acredita-se que a variância (σ²) de uma população, normalmente distribuída e de tamanho infinito, seja igual a 3,6. Para verificar se esta variância é inferior a 3,6, a um nível de significância α, foram formuladas as hipóteses H₀: σ² = 3,6 (hipótese nula) e H₁: σ² < 3,6 (hipótese alternativa) utilizando o teste qui-quadrado. Uma amostra aleatória de tamanho 10 foi extraída da população obtendo-se uma variância amostral igual a 1,5.

Dados:

Valores críticos qui-quadrado

A conclusão é que ao nível de significância de

Em uma grande cidade, a população formada pela altura de seus habitantes adultos é normalmente distribuída e considerada de tamanho infinito.

Sabe-se que 5% destes habitantes têm altura superior a 180 cm. Se apenas 2,5% destes habitantes têm altura inferior a 162 cm, então a média desta população é de

O número de pessoas que não têm suas reclamações atendidas por mês em um posto de atendimento de uma empresa em uma cidade tem distribuição de Poisson com média ʎ e desvio padrão populacional igual a 2. Deseja-se saber qual é a probabilidade (P) de o número de pessoas que não têm suas reclamações atendidas neste posto ser mais que 1 pessoa em um determinado mês. Se e é a base do logaritmo neperiano (ln) tal que ln(e) = 1, então P é igual a

Em virtude de não se conhecer a função de densidade de uma variável aleatória X, com média 22, obteve-se um intervalo de confiança (20, 24), sabendo-se que existe a probabilidade mínima de 84% de X pertencer a este intervalo conforme o Teorema de Tchebichev. Considerando este mesmo teorema, obtém-se que a probabilidade de X não pertencer ao intervalo (22 − K, 22 + K) é no máximo 6,25%. A amplitude deste último intervalo é de

No modelo ARMA(1,1), ou seja, y_t = 10 + 0,2 y_{t − 1} + ε_t + 0,8 ε_{t − 1}, em que ε_t é um ruído branco de média nula e variância unitária, obtém-se que a variância de y_t é igual a

Seja uma população {x₁, x₂, x₃, ... , x₂₀} formada pela renda em unidades monetárias de 20 pessoas, sendo x_i > 0 a renda da i-ésima pessoa (1 ≤ i ≤ 20). O coeficiente de variação desta população é igual a 20%. Sabendo-se que (x₂ − x₁₀) = 2 com x₁₀ > 4, subtrai-se de x₁₀ um montante igual a 4 e acrescenta-o a x₂. Após esta transferência, a nova variância fica igual a
Dado:

Sabe-se que 64 pessoas escolhidas ao acaso foram consultadas sobre qual o refrigerante de sua preferência entre duas marcas X e Y. Foi registrado por um sinal “+” os que preferem X e por um sinal “−” os que preferem Y. Verificou-se que o número de sinais “+” superou o número de sinais “−” em 26. Decidiu-se aplicar o teste dos sinais para averiguar se a proporção da população de sinal “mais” (p) é igual a 50% a um nível de significância de 5%. Foram então formuladas as hipóteses H₀: p = 50% (hipótese nula) e H₁: p ≠ 50% (hipótese alternativa). Com aproximação da distribuição binomial pela normal e desconsiderando a correção de continuidade, foi apurado para a tomada da decisão o valor do escore reduzido k para comparação com o valor crítico da curva normal padrão (Z) tal que P(|Z| ≤ 1,96) = 95%. O valor de k é tal que

A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X é dada por

Sendo K > 2, então a variância de X é igual a