Para uma variável aleatória X, de média \( E(X) = \mu \) e variância \( Var(X) = \sigma^2 \), uma amostra aleatória de tamanho n é constituída por um conjunto \( \left \{ X_1, X_2, \cdots, X_n \right \} \) de n variáveis aleatórias idênticas a X e estatisticamente independentes entre si. Essa amostra aleatória de X tem média amostral definida como sendo a variável aleatória \( \bar{X}_n = ( X_1+ X_2 + \cdots + X_n) /n \). Se um estimador estatístico para um parâmetro \( \theta \), associado à distribuição de probabilidade de , for denotado por \( \hat{ \theta} \), então o estimador para \( \mu \), da referida amostra aleatória, será \( \hat{ \mu}_n = \bar{X}_n \).

Com base nessas informações, julgue o item a seguir, considerando que os resultados do teorema do limite central são fundamentais para embasar a análise da qualidade dos estimadores estatísticos de um parâmetro.

É correto afirmar que \( E( \hat{ \mu}_n) = \mu \) e \( \sqrt{Var ( \hat{ \mu_n})}= \sigma /n \).

Para uma variável aleatória X, de média \( E(X) = \mu \) e variância \( Var(X) = \sigma^2 \), uma amostra aleatória de tamanho n é constituída por um conjunto \( \left \{ X_1, X_2, \cdots, X_n \right \} \) de n variáveis aleatórias idênticas a X e estatisticamente independentes entre si. Essa amostra aleatória de X tem média amostral definida como sendo a variável aleatória \( \bar{X}_n = ( X_1+ X_2 + \cdots + X_n) /n \). Se um estimador estatístico para um parâmetro \( \theta \), associado à distribuição de probabilidade de , for denotado por \( \hat{ \theta} \), então o estimador para \( \mu \), da referida amostra aleatória, será \( \hat{ \mu}_n = \bar{X}_n \).

Com base nessas informações, julgue o item a seguir, considerando que os resultados do teorema do limite central são fundamentais para embasar a análise da qualidade dos estimadores estatísticos de um parâmetro.

O estimador \( \hat{ \theta} \) de um parâmetro \( \theta \), baseado no método da função de verossimilhança, é não enviesado e suficiente, isto é, \( E( \hat{ \theta}) = \theta \).

Julgue o seguinte item, considerando duas variáveis aleatórias R e S , tais que \( E[R] = E[S] = 0,\,\,E[R^2] = 9,\,\,E[S^2] = 4 \) e \( Cov[R,S] = -6 \).

O valor esperado de (R + S)² é igual 1.

Julgue o seguinte item, considerando duas variáveis aleatórias R e S , tais que \( E[R] = E[S] = 0,\,\,E[R^2] = 9,\,\,E[S^2] = 4 \) e \( Cov[R,S] = -6 \).

A correlação entre (R + S) e (R - S) é igual a 1.

Julgue o seguinte item, considerando duas variáveis aleatórias R e S , tais que \( E[R] = E[S] = 0,\,\,E[R^2] = 9,\,\,E[S^2] = 4 \) e \( Cov[R,S] = -6 \).

Se R e S seguem distribuições normais, então a combinação linear \( R + { \large 3 \over 2} S \) também segue uma distribuição normal.

Julgue o próximo item, com base na distribuição de probabilidade condicional \( P(X = x | W = w)= { \large e^{-w} w^x \over x!} \) em que \( x = 0,1,2,3 \cdots, w\,>\,0 \) e W segue uma distribuição exponencial com média igual a 1.

\( Var(X) =1 \).

Julgue o próximo item, com base na distribuição de probabilidade condicional \( P(X = x | W = w)= { \large e^{-w} w^x \over x!} \) em que \( x = 0,1,2,3 \cdots, w\,>\,0 \) e W segue uma distribuição exponencial com média igual a 1.

\( E [Var (X|W)] = W \).

Considerando que as variáveis aleatórias X e Y sejam normais, mutuamente independentes e identicamente distribuídas, e supondo que \( \mu \)e \( \sigma \) representem, respectivamente, a média e o desvio padrão dessas distribuições, julgue s item subsequente.

A razão \( { \large X - Y \over 2\,\sigma} \) se distribui conforme uma distribuição normal padrão.

Considerando que as variáveis aleatórias X e Y sejam normais, mutuamente independentes e identicamente distribuídas, e supondo que \( \mu \)e \( \sigma \) representem, respectivamente, a média e o desvio padrão dessas distribuições, julgue s item subsequente.

Nas condições apresentadas, \( Var[X + Y] > Var[X - Y] \).

Considerando que as variáveis aleatórias X e Y sejam normais, mutuamente independentes e identicamente distribuídas, e supondo que \( \mu \)e \( \sigma \) representem, respectivamente, a média e o desvio padrão dessas distribuições, julgue s item subsequente.

Se \( S = X + Y \) e \( D = X - Y \), então \( S \) e \( D \) são variáveis aleatórias independentes.