Suponha que a comissão técnica de uma modalidade esportiva de um clube tem que decidir, com base em um teste de esforço físico, quais atletas serão inscritos ou não em um torneio esportivo. Estudos anteriores indicam que cerca de 40% dos atletas dessa modalidade mostram-se aptos (condição θ₀) a participar desses torneios, e 60% não aptos (condição θ₁). As respostas (X) em testes de esforço, realizados anteriormente com um grupo de atletas dessa modalidade, são mostradas na Tabela 1:

Tabela 1: Resposta (em proporções) dos atletas ao teste de esforço.

A decisão da comissão envolve perdas, estima-se que a perda ao inscrever no torneio um atleta não apto é de 6 unidades, e a perda de não inscrever um atleta apto é de 10 unidades. Admita, ainda, que não há perdas quando um atleta apto é inscrito no torneio, ou quando não se inscreve um atleta não apto. Assim, o cenário de decisão é composto pelo i) espaço paramétrico θ = {θ₀, θ₁}, em que θ₀ e θ₁ correspondem a aptidão ou não do atleta, respectivamente; ii) pelas possíveis ações da comissão {a₀, a₁}, ou seja, inscrever (a0) ou não inscrever o atleta (a₁); e iii) as perdas envolvidas. Considerando a distribuição a posteriori apresentada na Tabela 2, podemos afirmar sobre a decisão de Bayes da comissão:

Tabela 2: Distribuição a Posteriori.

Suponha que o comprimento X, em metros, das novas vigas fabricadas em uma indústria é uma variável aleatória que segue uma distribuição Uniforme no intervalo (0, θ). O fabricante deseja obter uma estimativa Bayesiana para θ e adota a seguinte densidade a priori para o parâmetro θ: !$ \pi(θ) = \dfrac{18}{θ^3}, θ \ge 3. !$ Uma amostra aleatória de 6 vigas selecionadas da linha de produção apresentou os comprimentos (em metros): 3,5; 6,0; 7,0; 6,5; 4,5 e 2,5. A estimativa Bayesiana para θ, com relação à função perda quadrática, é

No estudo da relação entre duas variáveis X e Y em modelos de regressão, podemos afirmar que:

Considerando duas amostras de tamanho independentes, extraídas de duas populações X e Y com possível associação linear entre elas, desejamos testar a hipótese H₀:ρ = 0 versus H₁:ρ ≠ 0 acerca do Coeficiente de Correlação populacional, através da Estatística S = r !$ \sqrt{\dfrac{n-2}{1-r^2}} !$, onde r = corr(X, Y) é a correlação amostral de Pearson. O teste baseia-se na distribuição:

O número de casos confirmados de Covid-19 (Y) em função do número de dias a partir do primeiro caso (X) pode ser ajustado pela função Y = α !$ exp^{βX} !$. Com base na tabela e nos dados, onde Z = ln(Y), podemos afirmar que:

!$ \sum x_i= 110;\, \sum x_i^2 = 1540;\, \sum x_iy_i= 7868;\, \sum x_iz_i= 387;\, \sum y_i= 447;\, \sum y_i^2 = 58409;\, \sum z_i= 26;\, \sum z_i^2 = 98 !$

Um Estatístico está estudando a relação entre duas variáveis, o Nível Socioeconômico (X) e o Desempenho no ENEM (Y), visando a ajustar uma função aos dados. Pode-se estimar os parâmetros do modelo por:

O tempo (X) entre as chegadas de e-mails a uma conta tem distribuição Exponencial com média de 1/α minutos, dada pela f.d.p. f(x) = α exp(–ax). Observando uma amostra de n=100 e-mails, e gerando a estatística !$ \overline{X} !$, podemos afirmar que:

Em uma população finita de N indivíduos, ao considerarmos uma variável de interesse X, a média e a variância populacionais serão obtidas por µ = !$ \dfrac{1}{N} !$!$ \textstyle \sum_{i=1}^N X_i !$ e σ² = !$ \dfrac{1}{N} !$ !$ \textstyle \sum_{i=1}^N (X_i - μ)^2 !$ , respectivamente. No entanto, ao obtermos uma amostra aleatória simples de tamanho n da v.a. X, e adotarmos as estatísticas !$ \overline{X}= !$ !$ \dfrac{1}{n} !$ !$ \textstyle \sum_{i=1}^n X_i !$ S² = !$ \dfrac{1}{n} !$ !$ \textstyle \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 !$ , podemos afirmar que

Um time de futebol está selecionando jogadores com base em algumas propriedades dos atletas. Foram pré-selecionados 2 jogadores e solicitado que cada um chutasse 10 vezes uma bola em um alvo no canto superior direito da trave. Os resultados estão ilustrados na figura a seguir:

Com base nos resultados, pode-se afirmar que o jogador

Consideremos uma população em que desejamos estudar uma variável X cuja distribuição depende de um parâmetro θ. Uma Estatística T, que visa a obter informação sobre o parâmetro θ, é definida como