Suponha que se deseja testar a hipótese nula de que uma distribuição binomial com n = 5 tem parâmetro p₀ contra a hipótese alternativa de que o parâmetro seja p₁ .Uma só observação é feita. As distribuições de X sob H₀ (hipótese nula) e H₁ (hipótese alternativa) são dadas na Tabela abaixo.



Fixando o nível de significância α = 3%, o melhor teste de nível α é dado por: rejeite H₀ , se

Uma loja de fogos de artifícios vai comprar de um fabricante uma grande quantidade de foguetes de cores. O fabricante afirma que a porcentagem de foguetes bons é 90%. O comprador irá comprar o lote se de 10 foguetes escolhidos ao acaso, no máximo 1 seja defeituoso. Dez foguetes são retirados ao acaso, revelando 1 defeituoso.

A probabilidade de significância para testar a hipótese H₀ : p = 0,90 contra H₁ : p < 0,90 é

A Tabela abaixo foi obtida da Pesquisa Economia Informal Urbana - Ecinf - 2003 (IBGE). Os dados foram divididos por 1000 e arredondados para o inteiro mais próximo.



Deseja-se testar as hipóteses
H₀ : a posição de ocupação independe do sexo
H₁ : a posição de ocupação depende do sexo
Usando o teste qui-quadrado para testar as hipóteses, obteve-se o p-valor igual a 0,181449.

A decisão sobre H₀ é

Uma criança brincando na areia da praia com uma vareta de tamanho μ resolveu desenhar um quadrado de lado μ. O tamanho μ era desconhecido. Ao observar o desenho, sua mãe desejou estimar a área do quadrado. Para tanto, ela fez n medições independentes da vareta, X₁ , X₂ , ...,X_n . Assumindo que cada X_i tenha média μ e variância σ² , e considerando o estimador da área do quadrado, qual é a tendenciosidade do estimador?

A percentagem de brasileiros que tinha cobertura de plano privado de saúde em junho/2010 era aproximadamente de 20% (ANS/MS-06/2013). Um comitê do Ministério de Saúde foi encarregado de realizar uma pesquisa para obter informações mais atuais.

Usando aproximação normal, qual o tamanho de amostra recomendada se o objetivo do comitê é obter a estimativa da proporção atual de indivíduos que têm plano privado de saúde com uma margem de erro de 3% e nível de confiança de 95%?

O gerente de uma fábrica de componentes eletrônicos inquiriu ao chefe de produção a proporção de componentes com tempo de duração menor ou igual a 10 unidades de tempo. Alertou-o que precisaria da informação no início do dia seguinte. Não dispondo de dados históricos, o chefe de produção resolveu, a partir de uma amostra de 5 componentes, retiradas naquele dia, contar o número de componentes com duração menor ou igual a 10 unidades de tempo. Ele registrou 1 componente, e, a partir desta única observação, inferiu a proporção desejada pelo gerente.

Segue abaixo uma parte da Tabela de probabilidades.



A estimativa de máxima verossimilhança de p é

Uma população tem distribuição regida pela função de densidade de probabilidade dada por



com α, β parâmetros desconhecidos. Uma amostra aleatória (1, 2, 2, 3) de tamanho 4 é retirada da população. Os estimadores de máxima verossimilhança para α e β à luz dessa amostra são dados por

Seja (X,Y) um vetor aleatório misto com espaço de estado definido por {1,2,3} x (0,1) e com modelo misto de probabilidade dado por



Condicionado a Y = 1/ 2 , qual o valor da probabilidade de X = 2 ?

A função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y é



A constante c do modelo conjunto vale

Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes tais que P(X = k) = P(Y = k) = 1/2^{k ,} para k = 1,2,3, ..

Se Z = max(X, Y), o valor de P(Z = 2) é