As extremidades do diâmetro de um círculo estão localizadas nos pontos A(-7,4) e B(1, -2). A reta 4y + 3x = 20 tangencia o círculo no ponto D. Determine as coordenadas do ponto D e assinale a opção CORRETA.

O cálculo da área delimitada entre duas curvas pode ser realizado por meio das integrais definidas. Considere as funções \( f \)(\( x \)) = \( \sqrt{x} \) e a função identidade para determinar a área entre as essas duas funções. Depois assinale a opção CORRETA.

Ladrilho ou mosaico de uma superfície plana é a cobertura de um plano usando uma ou mais formas geométricas sem sobreposição e sem lacunas. Em 2023, após meio século, finalmente os matemáticos encontraram a forma de 13 lados exibida na figura abaixo.

A forma em destaque no mosaico acima é conhecida como “Einstein” pois em alemão “ein stein” significa “uma pedra”. A peça se encaixa perfeitamente e pode cobrir um plano infinito de forma aperiódica, ou seja, os padrões não se repetem. Os mosaicos periódicos têm simetria de translação e, portanto, parecem iguais em diferentes pontos do plano. Observe o mosaico periódico abaixo e descubra o valor do ângulo \( \alpha \).

A Praia da Sereia é uma praia de pequena extensão localizada em Vila Velha. É uma praia de água serena muito usada para a prática de natação. A praia contém algumas ilhas como Riviera, Pedra do Sapo, Pedrinha da Sereia, etc. Os nadadores iniciantes partem do clube Libanês e vão até a Riviera por diferentes trajetos. O mapa abaixo apresenta a região:

Considere que um turista está no final da praia da Sereia, perto do clube Libanês e deseja visitar a ilha Riviera. O turista corre a uma velocidade de 8 km/h e nada a uma velocidade de 3 km/h. Qual a distância (\( x \)) que o turista deve correr antes de nadar para minimizar o tempo que ele vai levar para chegar à ilha Riviera?

O problema do caixeiro viajante faz referência a um vendedor em uma viagem de negócios. Ele começa em sua cidade natal (A) e depois precisa passar por diversas cidades diferentes para vender seus produtos (as outras cidades são B, C, D, etc.). Para resolver esse problema, você precisa encontrar a maneira mais barata para que o vendedor saia da sua casa, visite outras cidades e depois retorne a sua casa no final da viagem, passando apenas uma vez em cada cidade. A solução do problema exige a determinação do caminho hamiltoniano com o menor custo. O caminho hamiltoniano passa apenas uma vez em cada vértice de um grafo. Suponha que um transportador com sede na localidade A precisa entregar pacotes em quatro localidades B, C, D e E e retornar ao escritório central A, passando apenas uma vez em cada localidade. A figura abaixo mostra a distância em milhas entre as localidades A, B, C, D e E.

O transportador tem um custo por milha de R$5,90. Qual será o valor da rota mais curta que permite que o transportador faça as entregas saindo de A, passando por todas as outras localidades, uma única vez, e retornando a localidade A?

Uma integral imprópria é uma extensão do conceito de integral definida para funções que não estão definidas em todo o intervalo de integração ou para intervalos de integração infinitos. A integral imprópria é uma ferramenta poderosa para calcular áreas sob curvas em intervalos ilimitados. Sua aplicação é vasta em diversas áreas do conhecimento e seu cálculo envolve a compreensão de conceitos de limite e integral definida. Determine o valor da integral imprópria:

\( \int_{-\infty}^{\infty}e^{-e^x+2x}\ dx \)

A disciplina de Cálculo pode ser vista como o ramo da matemática que lida com limites, pois a ideia de limite é a base dos vários ramos da disciplina. No livro Cálculo I, de James Stewart, o limite da função \( f \)(\( x \)) quando \( x \) tende a \( a \) é igual a \( L \):

Qual é o limite da função \( f \)(\( x \)) = \( \dfrac{12}{x-2}-\dfrac{192}{4x^2-16} \) quando \( x \) tende a 2?

É possível recriar as ações que causaram as manchas de sangue na cena de um crime qualquer fazendo uma interpretação da disposição das manchas de sangue. As manchas de impacto resultam do sangue projetado no ar. O formato e a cauda da mancha de sangue indicam a direção em que o sangue estava viajando. Se todas as manchas de sangue vieram da mesma fonte, é possível encontrar o ponto P, cuja fonte do sangue está em algum lugar verticalmente acima deste ponto, conforme indicado na figura.

Se o perito já sabe que o sangue vem de uma vítima que foi atingida na cabeça, determinar a altura (h) pode mostrar se a vítima estava em pé, sentada, deitada ou apoiada em uma janela, por exemplo. Qual a função trigonometria usada para calcular a altura h?

As manchas de sangue fornecem muitas pistas sobre o que aconteceu em uma cena do crime. Quando as gotas de sangue atingem uma superfície, o formato da mancha depende do ângulo de impacto e da distância percorrida. Se o sangue caísse verticalmente sobre uma superfície lisa, de modo que a trajetória do sangue fizesse um ângulo de 90° com a superfície, criaria uma gota de formato circular. Se o sangue caísse obliquamente no chão, num ângulo inferior a cerca de 70°, teria uma forma elíptica com uma cauda. A figura a seguir ilustra alguns formatos de manchas de sangue e seus respectivos ângulos.

Fonte: Gomes (2022)

Os peritos podem estimar o ângulo em que a gota de sangue atingiu a superfície se for considerado que o diâmetro da gota antes do impacto (b) é igual à largura da gota após o impacto. O ângulo de impacto é chamado de ângulo de incidência (\( \theta \)) e pode ser calculado com a ajuda de um triângulo retângulo, como ilustrado na figura.

Qual a função trigonometria usada para obter o ângulo de incidência?

A figura abaixo ilustra um conjunto de ruas de mão única com tráfego fluindo nas direções indicadas pelas setas. As taxas de fluxo ao longo das ruas são medidas como o número médio de veículos por hora e estão indicadas na figura. O fluxo de veículos que entra em cada interseção é o mesmo que sai e o total de fluxo que entra é o mesmo que sai. Encontre o fluxo de veículos nos segmentos de ruas indicados por x₁ x₂, x₃ e x₄,. Depois, assinale a opção CORRETA.