Sejam f e g funções deriváveis em 0, que satisfazem as seguintes relações:



Para h(x) = sen com g(0) ≠ 0, pode-se dizer que o valor de h' (0) é:

Se y_p(x), uma função polinomial, é uma solução particular da equação d²y / dx² − dy / dx−2y = 4x² , então pode ser observado que:

Para n ∈ R, a equação diferencial ordinária

dy / dt + g(t)y = h(t)yⁿ ,

é conhecida como equação de Bernoulli, em homenagem ao celebre matemático suíço Jacob Bernoulli (1654-1705). Dentre outras aplicações, a equação de Bernoulli pode ser utilizada como modelo matemático para o estudo do crescimento de peixes, através da equação

dp / dt = αp^2/3 − βp,

também conhecida como equação de von Bertalanffy, em homenagem ao biólogo austríaco Ludwig von Bertalanffy (1901-1972). Na equação de von Bertalanffy, a função incógnita p(t) representa o peso do peixe no instante de tempo t e as constantes α > 0 e β > 0, respectivamente, as taxas de ganho de massa (anabolismo) e perda de massa (catabolismo) do peixe. Nessas condições, após resolver a equação de von Bertalanffy e observar a sua solução, pode-se verificar que:

Seja T : R² → R uma transformação linear tal que

T(2, 2) = 3 e T(3, 2) = 1.

O valor de T(1, 0) é:

Sejam U e V dois espaços vetoriais sobre o corpo dos reais e T : U → V uma transformação linear. Considere as seguintes afirmativas:

I - Se u ∈ U é tal que T(u) = 0, então u = 0.
II - Se n ≥ 1 é um inteiro e u₁, u₂, . . . , u_n são vetores em U tais que o conjunto de vetores {T(u₁), T(u₂), . . . , T(u_n)} é linearmente independente, então o conjunto de vetores {u1, u2, . . . , un} é linearmente independente.
III - Se W é um subconjunto de U então o conjunto
T (W) = {T(w) | w ∈ W}
é um subespaço vetorial de V .
IV - Se U e V forem espaços vetoriais de dimensão finita e T for um isomorfismo, então U e V têm a mesma dimensão.


Sobre essas afirmações podemos dizer que estão corretos:

Seja E um sólido tridimensional. Se a mudança de variável


transforma E na região



então o valor da integral

O volume da região E = { (x, y, z) ∈ R³ /z² ≤ x² + y² ≤ 2x } é:

Para a, b, c ∈ R, considere a função f : R → R definida por


Para que f seja derivável em R, o valor de a + b + c deve ser:

Considere a função real de uma variável real f(x) definida por

O valor de L para que f(x) seja contínua em x = 0 é igual a: