Indique o número de raízes reais distintas do polinômio a seguir:

Observe a igualdade dos determinantes a seguir:

Qual das alternativas apresenta uma solução da equação acima?

A magnitude M de um terremoto pode ser medida pela escala Richter. Esta escala tem sido aperfeiçoada e, por questão de simplicidade, adotaremos a seguinte formulação: sendo A a amplitude das ondas sísmicas, medidas em milímetros por meio de um aparelho chamado sismógrafo; e Δt é o intervalo de tempo entre a chegada das ondas primárias e as secundárias. Neste modelo, a energia E liberada pelo terremoto, medida em quilowatt-hora (kwh), depende de A e pode ser expressa como E = A^3/2. Suponha que dois abalos foram medidos e encontrou-se a seguinte relação entre suas respectivas magnitudes: M₂ = M₁ + 1, ou seja, a diferença entre M₂ e M₁ foi de apenas um ponto na escala. Considere ainda que A_i e E_i, i ∈ {1,2} , representam a amplitude e a energia liberada, relacionadas aos terremotos 1 e 2, respectivamente e que Δt₂ = Δt₁ . Sobre estes dois abalos é correto afirmar que:

Seja !$ A = \left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \right \} !$. O número de bijeções !$ f : A \rightarrow A !$ que satisfazem !$ f(x) \le x^2 - 2x + 4 !$ para todo !$ x \in A !$ é:

Um artista plástico pretende fazer uma obra construída com várias repetições do mosaico representado pela figura abaixo. Ao ligar várias unidades como esta, ele será capaz de preencher um grande mural. Para começar o trabalho ele necessita produzir os elementos triangulares iguais ao destacado na figura.

Sabendo que os pentágonos e hexágonos presentes são regulares, ele precisa calcular os ângulos internos desse triângulo. Após calcular os ângulos, o artista chegou às seguintes medidas em graus:

Seja V = P₃(ℝ) o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3. Considere as seguintes afirmações.

I. Se U e W são dois subespaços de V de dimensão 2, e U + W = V, então U ∩ W = {0}

II. Se X ⊆ V é linearmente dependente e contém dois ou mais vetores, então qualquer que seja u ∈ X, tem-se que u é combinação linear dos vetores de X\ {u}.

III. Sejam U = [1 + x, 2 - x²] e W = [3 + x + 5x²]. Então U ∪ W é subespaço de V.

A respeito das proposições acima, é correto afirmar que:

Seja !$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$ uma função diferenciável tal que !$ { \large \partial f \over \partial x} (1,2) = -1 !$ e !$ { \large \partial f \over \partial y} (1,2) =3 !$. Considere C a curva obtida pela interseção do gráfico de f com a superfície de nível zero da função !$ F(x,y,z) = x^2 - y + z^2 !$. Sabendo que
C passa por !$ P = ( 1,2,1) !$, a equação da reta tangente a C em P é:

Carlos passou o número do seu celular para Renato. Todos os números de celular na região em que eles moram tem 9 dígitos, sendo o primeiro um algarismo de 1 a 9 e os demais podem ser quaisquer algarismos de 0 a 9. Renato cometeu um equívoco, anotou errado um dos quatro últimos dígitos. Ciente desse erro, a probabilidade de Renato conseguir ligar para o número correto de Carlos em até 3 tentativas é:

A função !$ f(x) = { \large 1 \over x} !$ é representada por uma hipérbole, sendo os eixos x e y as assíntotas. As coordenadas dos focos dessa hipérbole são !$ F_1 : ( \sqrt{2} \sqrt{2}), !$ e !$ F_2 ( -zsqrt{2} - \sqrt{2}) !$. Qual equação corresponde a uma rotação de 45° nessa hipérbole?