Quantos restos diferentes são possíveis da divisão de n² por 11, sendo n um número natural ?

Qual o resto da divisão do polinômio x²⁶ - x²⁵ - 6x²⁴ + 5x⁴ - 16x³ + 3x² pelo polinômio x³ - 3x² - x + 3 ?

Determine o produto dos valores máximo e mínimo de y que satisfazem às inequações dadas para algum valor de !$ x !$.

!$ 2x^2 - 12x + 10 \le 5y \le 10 - 2x !$

A soma dos termos de uma progressão aritmética é 244. O primeiro termo, a razão e o número de termos formam, nessa ordem, outra progressão aritmética de razão 1. Determine a razão da primeira progressão aritmética.

A função !$ f: \Re \rightarrow \Re !$ é definida por:

!$ f(x) = In { \large 8 + 3 sen x - sen 3x \over 8 - 4 sen x + 2 sen 2x cos x} !$

Marque a opção verdadeira:

Sejam !$ x !$ e !$ y !$ números reais não nulos tais que:

O valor de !$ { \large x^{a+b+2e} \over y^{a-b+2\pi}} !$ é:

Os lados a, b e c de um triângulo estão em PA nesta ordem, sendo opostos aos ângulos internos !$ \hat A !$, !$ \hat B !$ e !$ \hat C !$, respectivamente. Determine o valor da expressão:

!$ { \large cos { \large \hat A - \hat C \over 2} \over cos { \large \hat A +\hat C \over 2}} !$

Em um laboratório localizado em um planeta desconhecido, um grupo de pesquisadores observa o deslizamento de um bloco em um plano inclinado. Nota-se que o bloco parte do repouso e atinge o final da rampa em 10 segundos e com velocidade de 4 m/s. Neste mesmo ambiente, encontra-se instalado um manômetro do tipo “tubo em U” que tem por objetivo medir o diferencial de pressão entre dois reservatórios que se localizam em cada ponta do tubo. Sabe-se que o fluido manométrico é feito através da mistura da mesma quantidade em massa de dois óleos miscíveis distintos. Levando em conta os dados abaixo, pode-se afirmar que o coeficiente de atrito (dinâmico) entre o bloco e o plano inclinado na situação física descrita é:

Dados:

• altura máxima do plano em relação à horizontal: 6 m;

• comprimento da rampa: 10 m;

• diferença entre as pressões nos reservatórios: 0,18 kPa;

• cota de desnível do fluido manométrico: 30 cm;

• massas específicas dos óleos: 0,3 g/cm³, 0,9 g/cm³.

Observação:

• considere que a massa, em kg, da mistura dos óleos é igual a soma das massas, em kg, das massas de cada óleo.

A figura acima mostra uma onda transversal na forma de um pulso ondulatório em uma corda esticada. A onda está se propagando no sentido positivo do eixo !$ x !$ com velocidade igual a 0,5 m/s. Se o deslocamento !$ y !$, em metros, para uma coordenada !$ x !$, em metros, no instante !$ t = 0 !$ é dado por

!$ y(x) = { \large 1 \over x^2 + 4} !$

o deslocamento !$ y !$, em centímetros, para !$ x = 3 !$ metros e !$ t = 2 !$ segundos é

Um corpo puntiforme de massa m_A parte de ponto A, percorrendo a rampa circular representada na figura acima, sem atrito, colide com outro corpo puntiforme de massa m_B, que se encontrava inicialmente em repouso no ponto B. Sabendo que este choque é perfeitamente inelástico e que o corpo resultante deste choque atinge o ponto C , ponto mais alto da rampa, com a menor velocidade possível mantendo o contato com a rampa, a velocidade inicial do corpo no ponto A, em m/s, é

Dados:

• raio da rampa circular: 2m;
• aceleração da gravidade g: 10m/s²;
• massa m_A: 1kg;
• massa m_B: 1kg.