Acerca da distribuição dos consumidores de determinado produto segundo suas preferências por marcas, sabe-se que, em determinada cidade, 20% dos consumidores preferem a marca A, 50%, a marca B e os 30% restantes, preferem a marca C. A marca A é importada e as marcas B e C são nacionais. Considere que os desvios padrão das rendas mensais dos consumidores que preferem as marcas A, B e C sejam, respectivamente, iguais a R$ 500,00, R$ 400,00 e !$ {1\,\over\,3}\,\times\,\mathrm\,{R$}\,2.000,00 !$. Uma amostragem aleatória estratificada de !$ n = 500 !$ pessoas será retirada dessa população para estimar a renda média mensal dos consumidores desse produto dessa cidade.

Considerando que os três grupos de consumidores são os estratos da amostragem, julgue o item que se segue.

No caso da alocação proporcional ao tamanho dos estratos, a amostra deve consistir em 100 consumidores que preferem a marca A, 250 que preferem a marca B e 150 que preferem a marca C.

Acerca da distribuição dos consumidores de determinado produto segundo suas preferências por marcas, sabe-se que, em determinada cidade, 20% dos consumidores preferem a marca A, 50%, a marca B e os 30% restantes, preferem a marca C. A marca A é importada e as marcas B e C são nacionais. Considere que os desvios padrão das rendas mensais dos consumidores que preferem as marcas A, B e C sejam, respectivamente, iguais a R$ 500,00, R$ 400,00 e !$ {1\,\over\,3}\,\times\,\mathrm\,{R$}\,2.000,00 !$. Uma amostragem aleatória estratificada de !$ n = 500 !$ pessoas será retirada dessa população para estimar a renda média mensal dos consumidores desse produto dessa cidade.

Considerando que os três grupos de consumidores são os estratos da amostragem, julgue o item que se segue.

Considere que serão selecionados, ao acaso, 165 consumidores que preferem a marca A, 170 que preferem a marca B e 165 que preferem a marca C. Nessa situação, é correto afirmar que o erro padrão do estimador para a renda média mensal dessa população de consumidores é igual a !$ {1\,\over\,9}\,\times\,\mathrm\,{R$}\,4.700,00\,. !$

Uma empresa de seguros deseja estimar !$ z !$ = preço esperado (em reais) de determinado tipo de motocicleta em função de !$ x !$ = tempo de uso (em anos) e de !$ y !$ = quilometragem rodada (em km). Para isso, a empresa levantou os dados de seis motocicletas, cujos valores estão na tabela a seguir.

Quando !$ y = 0 !$ e !$ x = 0 !$ (a motocicleta é nova), seu preço é igual a R$ 60.000,00. Dois modelos de regressão linear foram considerados por essa empresa:

!$ (1) \, \, \, z = z_0 - ax + \varepsilon !$
!$ (2) \, \, \, z = z_0 - ax - by + \varepsilon , !$

em que !$ z_0 = !$ R$ 60.000,00 e !$ \varepsilon !$ representa um erro aleatório com média zero e desvio padrão constante igual a !$ \sigma !$.

Com base nessas informações e considerando que !$ \hat {a} !$ e !$ \hat {b} !$ representam, respectivamente, as estimativas dos coeficientes !$ a !$ e !$ b !$, julgue o item seguinte acerca de regressão linear.

Considere que o erro aleatório !$ \varepsilon !$ segue uma distribuição exponencial dupla. Nessa situação, as estimativas de máxima verossimilhança para os coeficientes do modelo (2) são !$ \hat {a} = 8.700 !$ e !$ \hat {b} = - 0,1. !$

Uma empresa de seguros deseja estimar !$ z !$ = preço esperado (em reais) de determinado tipo de motocicleta em função de !$ x !$ = tempo de uso (em anos) e de !$ y !$ = quilometragem rodada (em km). Para isso, a empresa levantou os dados de seis motocicletas, cujos valores estão na tabela a seguir.

Quando !$ y = 0 !$ e !$ x = 0 !$ (a motocicleta é nova), seu preço é igual a R$ 60.000,00. Dois modelos de regressão linear foram considerados por essa empresa:

!$ (1) \, \, \, z = z_0 - ax + \varepsilon !$
!$ (2) \, \, \, z = z_0 - ax - by + \varepsilon , !$

em que !$ z_0 = !$ R$ 60.000,00 e !$ \varepsilon !$ representa um erro aleatório com média zero e desvio padrão constante igual a !$ \sigma !$.

Com base nessas informações e considerando que !$ \hat {a} !$ e !$ \hat {b} !$ representam, respectivamente, as estimativas dos coeficientes !$ a !$ e !$ b !$, julgue o item seguinte acerca de regressão linear.

As equações normais para o modelo (2) são:

!$ {a \sum \limits_i x_i^2 + b \sum \limits_i x_i y_i = z_0 \sum \limits_i x_i - \sum \limits_i x_i z_i } ; !$
!$ {a \sum \limits_i x_i y_i + b \sum \limits_i y_i^2 = z_0 \sum \limits_i y_i - \sum \limits_i y_i z_i } . !$

Uma empresa de seguros deseja estimar !$ z !$ = preço esperado (em reais) de determinado tipo de motocicleta em função de !$ x !$ = tempo de uso (em anos) e de !$ y !$ = quilometragem rodada (em km). Para isso, a empresa levantou os dados de seis motocicletas, cujos valores estão na tabela a seguir.

Quando !$ y = 0 !$ e !$ x = 0 !$ (a motocicleta é nova), seu preço é igual a R$ 60.000,00. Dois modelos de regressão linear foram considerados por essa empresa:

!$ (1) \, \, \, z = z_0 - ax + \varepsilon !$
!$ (2) \, \, \, z = z_0 - ax - by + \varepsilon , !$

em que !$ z_0 = !$ R$ 60.000,00 e !$ \varepsilon !$ representa um erro aleatório com média zero e desvio padrão constante igual a !$ \sigma !$.

Com base nessas informações e considerando que !$ \hat {a} !$ e !$ \hat {b} !$ representam, respectivamente, as estimativas dos coeficientes !$ a !$ e !$ b !$, julgue o item seguinte acerca de regressão linear.

Considerando os dados da tabela, o modelo (1) fornece !$ \hat {a} = !$ 11.500.

Uma empresa de seguros deseja estimar !$ z !$ = preço esperado (em reais) de determinado tipo de motocicleta em função de !$ x !$ = tempo de uso (em anos) e de !$ y !$ = quilometragem rodada (em km). Para isso, a empresa levantou os dados de seis motocicletas, cujos valores estão na tabela a seguir.

Quando !$ y = 0 !$ e !$ x = 0 !$ (a motocicleta é nova), seu preço é igual a R$ 60.000,00. Dois modelos de regressão linear foram considerados por essa empresa:

!$ (1) \, \, \, z = z_0 - ax + \varepsilon !$
!$ (2) \, \, \, z = z_0 - ax - by + \varepsilon , !$

em que !$ z_0 = !$ R$ 60.000,00 e !$ \varepsilon !$ representa um erro aleatório com média zero e desvio padrão constante igual a !$ \sigma !$.

Com base nessas informações e considerando que !$ \hat {a} !$ e !$ \hat {b} !$ representam, respectivamente, as estimativas dos coeficientes !$ a !$ e !$ b !$, julgue o item seguinte acerca de regressão linear.

Considere que o modelo (2) seja adequado para descrever a relação entre !$ x !$, !$ y !$ e !$ z !$. Nessa situação, se uma moto, com um ano de uso, rodou 60.000 km e custa R$ 44.000,00 e se uma outra moto, com dois anos de uso, rodou 12.000 km e custa R$ 39.000,00, então, com base apenas nesses valores, é correto afirmar que !$ a !$ =12.000 e !$ b !$ = 0,1.

Uma empresa de seguros deseja estimar !$ z !$ = preço esperado (em reais) de determinado tipo de motocicleta em função de !$ x !$ = tempo de uso (em anos) e de !$ y !$ = quilometragem rodada (em km). Para isso, a empresa levantou os dados de seis motocicletas, cujos valores estão na tabela a seguir.

Quando !$ y = 0 !$ e !$ x = 0 !$ (a motocicleta é nova), seu preço é igual a R$ 60.000,00. Dois modelos de regressão linear foram considerados por essa empresa:

!$ (1) \, \, \, z = z_0 - ax + \varepsilon !$
!$ (2) \, \, \, z = z_0 - ax - by + \varepsilon , !$

em que !$ z_0 = !$ R$ 60.000,00 e !$ \varepsilon !$ representa um erro aleatório com média zero e desvio padrão constante igual a !$ \sigma !$.

Com base nessas informações e considerando que !$ \hat {a} !$ e !$ \hat {b} !$ representam, respectivamente, as estimativas dos coeficientes !$ a !$ e !$ b !$, julgue o item seguinte acerca de regressão linear.

Com respeito ao modelo (1), o maior resíduo observado foi igual a R$ 1.500,00.

Uma empresa de seguros deseja estimar !$ z !$ = preço esperado (em reais) de determinado tipo de motocicleta em função de !$ x !$ = tempo de uso (em anos) e de !$ y !$ = quilometragem rodada (em km). Para isso, a empresa levantou os dados de seis motocicletas, cujos valores estão na tabela a seguir.

Quando !$ y = 0 !$ e !$ x = 0 !$ (a motocicleta é nova), seu preço é igual a R$ 60.000,00. Dois modelos de regressão linear foram considerados por essa empresa:

!$ (1) \, \, \, z = z_0 - ax + \varepsilon !$
!$ (2) \, \, \, z = z_0 - ax - by + \varepsilon , !$

em que !$ z_0 = !$ R$ 60.000,00 e !$ \varepsilon !$ representa um erro aleatório com média zero e desvio padrão constante igual a !$ \sigma !$.

Com base nessas informações e considerando que !$ \hat {a} !$ e !$ \hat {b} !$ representam, respectivamente, as estimativas dos coeficientes !$ a !$ e !$ b !$, julgue o item seguinte acerca de regressão linear.

Com relação ao modelo (1), a estimativa de mínimos quadrados do coeficiente a satisfaz à relação seguinte.

!$ - z_0 \sum_i x_i + \hat {a} \sum_i x_i^2 - \sum_i x_i z_i = 0 !$

Um estudo será realizado para avaliar o desenvolvimento de certa planta para reflorestamento de determinada área. Para esse estudo, !$ n !$ exemplares dessa planta serão escolhidos aleatoriamente e monitorados por 10 meses, desde a germinação das sementes, registrando-se, no décimo mês, as alturas desses exemplares (em cm). Com respeito à distribuição populacional dessas alturas, sabe-se apenas que ela não é simétrica em torno da média. Nesse estudo, por meio do teste dos sinais, deseja-se testar a hipótese nula !$ H_0: !$ a mediana das alturas de exemplares dessa planta com 10 meses de idade é !$ \tilde {x} = 200 cm !$. Considere que !$ X^+ !$ e !$ X^- !$representam, respectivamente, as quantidades desses exemplares com alturas maiores ou iguais a 200 cm e com alturas menores que 200 cm; e que !$ X= !$ mínimo !$ \lbrace X^+, X^- \rbrace . !$

Considerando a situação apresentada no texto, que !$ n = 8 !$ e que a tabela acima apresenta as alturas registradas (em cm) no décimo mês das plantas monitoradas, julgue o próximo item.

Não há evidências estatísticas contra a hipótese !$ H_0 !$ se o nível de significância escolhido for igual a 5%.

Um estudo será realizado para avaliar o desenvolvimento de certa planta para reflorestamento de determinada área. Para esse estudo, !$ n !$ exemplares dessa planta serão escolhidos aleatoriamente e monitorados por 10 meses, desde a germinação das sementes, registrando-se, no décimo mês, as alturas desses exemplares (em cm). Com respeito à distribuição populacional dessas alturas, sabe-se apenas que ela não é simétrica em torno da média. Nesse estudo, por meio do teste dos sinais, deseja-se testar a hipótese nula !$ H_0: !$ a mediana das alturas de exemplares dessa planta com 10 meses de idade é !$ \tilde {x} = 200 cm !$. Considere que !$ X^+ !$ e !$ X^- !$representam, respectivamente, as quantidades desses exemplares com alturas maiores ou iguais a 200 cm e com alturas menores que 200 cm; e que !$ X= !$ mínimo !$ \lbrace X^+, X^- \rbrace . !$

Considerando a situação apresentada no texto, que !$ n = 8 !$ e que a tabela acima apresenta as alturas registradas (em cm) no décimo mês das plantas monitoradas, julgue o próximo item.

Se a hipótese !$ H_0 !$ for válida, então !$ {P ( X \le 1) = { 9 \over 256} }. !$