A figura acima ilustra um tabuleiro de xadrez, em que !$ a_{i,j} !$ representa a casa do tabuleiro localizada na linha !$ i !$ e na coluna !$ j !$. Uma pedra é inicialmente colocada na casa !$ a_{i,j} !$, uma das 64 casas do tabuleiro. Em seguida (passo 1), a pedra é movimentada, aleatoriamente, para uma das posições vizinhas: !$ a_{i - 1, j} \quad ; \quad a_{i + 1, j} \quad ; \quad a_{i,j - 1} !$ ou !$ a_{i , j + 1} !$, e assim sucessivamente para os passos seguintes. Com isso, em cada passo, a pedra pode ser movimentada para uma das posições vizinhas permitidas. A escolha das posições vizinhas para onde a pedra poderá ser movimentada é feita com probabilidades iguais, dependendo do número de posições permitidas.

Com base nessas informações, julgue o item seguinte.

Depois de um grande número de passos, a probabilidade de a pedra estar na posição !$ a_{i, j} !$, em que !$ 2 \le i, j \le 7 !$, é igual a !$ {9 \over 28}. !$

A figura acima ilustra um tabuleiro de xadrez, em que !$ a_{i,j} !$ representa a casa do tabuleiro localizada na linha !$ i !$ e na coluna !$ j !$. Uma pedra é inicialmente colocada na casa !$ a_{i,j} !$, uma das 64 casas do tabuleiro. Em seguida (passo 1), a pedra é movimentada, aleatoriamente, para uma das posições vizinhas: !$ a_{i - 1, j} \quad ; \quad a_{i + 1, j} \quad ; \quad a_{i,j - 1} !$ ou !$ a_{i , j + 1} !$, e assim sucessivamente para os passos seguintes. Com isso, em cada passo, a pedra pode ser movimentada para uma das posições vizinhas permitidas. A escolha das posições vizinhas para onde a pedra poderá ser movimentada é feita com probabilidades iguais, dependendo do número de posições permitidas.

Com base nessas informações, julgue o item seguinte.

Depois de um grande número de passos, a probabilidade de a pedra estar em um dos vértices do tabuleiro é igual a !$ {1 \over 28}. !$

A figura acima ilustra um tabuleiro de xadrez, em que !$ a_{i,j} !$ representa a casa do tabuleiro localizada na linha !$ i !$ e na coluna !$ j !$. Uma pedra é inicialmente colocada na casa !$ a_{i,j} !$, uma das 64 casas do tabuleiro. Em seguida (passo 1), a pedra é movimentada, aleatoriamente, para uma das posições vizinhas: !$ a_{i - 1, j} \quad ; \quad a_{i + 1, j} \quad ; \quad a_{i,j - 1} !$ ou !$ a_{i , j + 1} !$, e assim sucessivamente para os passos seguintes. Com isso, em cada passo, a pedra pode ser movimentada para uma das posições vizinhas permitidas. A escolha das posições vizinhas para onde a pedra poderá ser movimentada é feita com probabilidades iguais, dependendo do número de posições permitidas.

Com base nessas informações, julgue o item seguinte.

Se o movimento da pedra é iniciado na posição !$ a_{1, 1} !$, então a probabilidade de ela ser encontrada na posição !$ a_{1, 8} !$ depois do 7.º passo é igual a !$ {1 \over 3^7}. !$

A figura acima ilustra um tabuleiro de xadrez, em que !$ a_{i,j} !$ representa a casa do tabuleiro localizada na linha !$ i !$ e na coluna !$ j !$. Uma pedra é inicialmente colocada na casa !$ a_{i,j} !$, uma das 64 casas do tabuleiro. Em seguida (passo 1), a pedra é movimentada, aleatoriamente, para uma das posições vizinhas: !$ a_{i - 1, j} \quad ; \quad a_{i + 1, j} \quad ; \quad a_{i,j - 1} !$ ou !$ a_{i , j + 1} !$, e assim sucessivamente para os passos seguintes. Com isso, em cada passo, a pedra pode ser movimentada para uma das posições vizinhas permitidas. A escolha das posições vizinhas para onde a pedra poderá ser movimentada é feita com probabilidades iguais, dependendo do número de posições permitidas.

Com base nessas informações, julgue o item seguinte.

A matriz de probabilidade de transição tem 64² elementos, dos quais 112 são não nulos.

A figura acima ilustra um tabuleiro de xadrez, em que !$ a_{i,j} !$ representa a casa do tabuleiro localizada na linha !$ i !$ e na coluna !$ j !$. Uma pedra é inicialmente colocada na casa !$ a_{i,j} !$, uma das 64 casas do tabuleiro. Em seguida (passo 1), a pedra é movimentada, aleatoriamente, para uma das posições vizinhas: !$ a_{i - 1, j} \quad ; \quad a_{i + 1, j} \quad ; \quad a_{i,j - 1} !$ ou !$ a_{i , j + 1} !$, e assim sucessivamente para os passos seguintes. Com isso, em cada passo, a pedra pode ser movimentada para uma das posições vizinhas permitidas. A escolha das posições vizinhas para onde a pedra poderá ser movimentada é feita com probabilidades iguais, dependendo do número de posições permitidas.

Com base nessas informações, julgue o item seguinte.

Se o movimento da pedra é iniciado na posição !$ a_{2, 2} !$, então a probabilidade de ela ser encontrada na posição !$ a_{6,6} !$ depois do 8.º passo é igual a !$ {70 \over 4^8}. !$

A figura acima ilustra um tabuleiro de xadrez, em que !$ a_{i,j} !$ representa a casa do tabuleiro localizada na linha !$ i !$ e na coluna !$ j !$. Uma pedra é inicialmente colocada na casa !$ a_{i,j} !$, uma das 64 casas do tabuleiro. Em seguida (passo 1), a pedra é movimentada, aleatoriamente, para uma das posições vizinhas: !$ a_{i - 1, j} \quad ; \quad a_{i + 1, j} \quad ; \quad a_{i,j - 1} !$ ou !$ a_{i , j + 1} !$, e assim sucessivamente para os passos seguintes. Com isso, em cada passo, a pedra pode ser movimentada para uma das posições vizinhas permitidas. A escolha das posições vizinhas para onde a pedra poderá ser movimentada é feita com probabilidades iguais, dependendo do número de posições permitidas.

Com base nessas informações, julgue o item seguinte.

O movimento da pedra no tabuleiro representa um processo estocástico denominado cadeia de Markov.

Acerca da distribuição dos consumidores de determinado produto segundo suas preferências por marcas, sabe-se que, em determinada cidade, 20% dos consumidores preferem a marca A, 50%, a marca B e os 30% restantes, preferem a marca C. A marca A é importada e as marcas B e C são nacionais. Considere que os desvios padrão das rendas mensais dos consumidores que preferem as marcas A, B e C sejam, respectivamente, iguais a R$ 500,00, R$ 400,00 e !$ {1\,\over\,3}\,\times\,\mathrm\,{R$}\,2.000,00 !$. Uma amostragem aleatória estratificada de !$ n = 500 !$ pessoas será retirada dessa população para estimar a renda média mensal dos consumidores desse produto dessa cidade.

Considerando que os três grupos de consumidores são os estratos da amostragem, julgue o item que se segue.

Considere que uma amostra aleatória simples de 200 consumidores será retirada do estrato formado pelos consumidores que preferem a marca B. Nessa situação, é correto afirmar que o erro padrão do estimador para a renda média mensal dos consumidores desse estrato é inferior a R$ 20,00.

Acerca da distribuição dos consumidores de determinado produto segundo suas preferências por marcas, sabe-se que, em determinada cidade, 20% dos consumidores preferem a marca A, 50%, a marca B e os 30% restantes, preferem a marca C. A marca A é importada e as marcas B e C são nacionais. Considere que os desvios padrão das rendas mensais dos consumidores que preferem as marcas A, B e C sejam, respectivamente, iguais a R$ 500,00, R$ 400,00 e !$ {1\,\over\,3}\,\times\,\mathrm\,{R$}\,2.000,00 !$. Uma amostragem aleatória estratificada de !$ n = 500 !$ pessoas será retirada dessa população para estimar a renda média mensal dos consumidores desse produto dessa cidade.

Considerando que os três grupos de consumidores são os estratos da amostragem, julgue o item que se segue.

Considere que !$ X_1, X_2, ..., X_{500} !$ são as rendas a serem observadas por amostragem aleatória estratificada com alocação proporcional. Nessa situação, é correto afirmar que a média aritmética !$ {1 \over 500} \sum \limits^{500}_{i = 1} X_i !$ é um estimador não tendencioso da renda média mensal dessa população de consumidores.

Acerca da distribuição dos consumidores de determinado produto segundo suas preferências por marcas, sabe-se que, em determinada cidade, 20% dos consumidores preferem a marca A, 50%, a marca B e os 30% restantes, preferem a marca C. A marca A é importada e as marcas B e C são nacionais. Considere que os desvios padrão das rendas mensais dos consumidores que preferem as marcas A, B e C sejam, respectivamente, iguais a R$ 500,00, R$ 400,00 e !$ {1\,\over\,3}\,\times\,\mathrm\,{R$}\,2.000,00 !$. Uma amostragem aleatória estratificada de !$ n = 500 !$ pessoas será retirada dessa população para estimar a renda média mensal dos consumidores desse produto dessa cidade.

Considerando que os três grupos de consumidores são os estratos da amostragem, julgue o item que se segue.

Considere que a alocação ótima de Neyman será feita em função da estimativa do desvio padrão das rendas mensais dos consumidores de cada estrato. Nessa situação, de acordo com a alocação ótima de Neyman, a amostra deve consistir em 200 consumidores que preferem a marca A, 200 que preferem a marca B e 100 que preferem a marca C.