Um estudo será realizado para avaliar o desenvolvimento de certa planta para reflorestamento de determinada área. Para esse estudo, !$ n !$ exemplares dessa planta serão escolhidos aleatoriamente e monitorados por 10 meses, desde a germinação das sementes, registrando-se, no décimo mês, as alturas desses exemplares (em cm). Com respeito à distribuição populacional dessas alturas, sabe-se apenas que ela não é simétrica em torno da média. Nesse estudo, por meio do teste dos sinais, deseja-se testar a hipótese nula !$ H_0: !$ a mediana das alturas de exemplares dessa planta com 10 meses de idade é !$ \tilde {x} = 200 cm !$. Considere que !$ X^+ !$ e !$ X^- !$representam, respectivamente, as quantidades desses exemplares com alturas maiores ou iguais a 200 cm e com alturas menores que 200 cm; e que !$ X= !$ mínimo !$ \lbrace X^+, X^- \rbrace . !$

Com base nas informações apresentadas, julgue o próximo item acerca do teste dos sinais.

Sob a hipótese !$ H_0 !$, a distribuição de !$ X^+ !$ é binomial com parâmetros !$ n !$ e !$ p = {1 \over 2}. !$

Um estudo será realizado para avaliar o desenvolvimento de certa planta para reflorestamento de determinada área. Para esse estudo, !$ n !$ exemplares dessa planta serão escolhidos aleatoriamente e monitorados por 10 meses, desde a germinação das sementes, registrando-se, no décimo mês, as alturas desses exemplares (em cm). Com respeito à distribuição populacional dessas alturas, sabe-se apenas que ela não é simétrica em torno da média. Nesse estudo, por meio do teste dos sinais, deseja-se testar a hipótese nula !$ H_0: !$ a mediana das alturas de exemplares dessa planta com 10 meses de idade é !$ \tilde {x} = 200 cm !$. Considere que !$ X^+ !$ e !$ X^- !$representam, respectivamente, as quantidades desses exemplares com alturas maiores ou iguais a 200 cm e com alturas menores que 200 cm; e que !$ X= !$ mínimo !$ \lbrace X^+, X^- \rbrace . !$

Com base nas informações apresentadas, julgue o próximo item acerca do teste dos sinais.

Na situação apresentada, seria correto aplicar o teste dos sinais se a hipótese !$ H_0 !$ fosse: a média das alturas de exemplares dessa planta com 10 meses de idade é igual a 200 cm.

Um estudo será realizado para avaliar o desenvolvimento de certa planta para reflorestamento de determinada área. Para esse estudo, !$ n !$ exemplares dessa planta serão escolhidos aleatoriamente e monitorados por 10 meses, desde a germinação das sementes, registrando-se, no décimo mês, as alturas desses exemplares (em cm). Com respeito à distribuição populacional dessas alturas, sabe-se apenas que ela não é simétrica em torno da média. Nesse estudo, por meio do teste dos sinais, deseja-se testar a hipótese nula !$ H_0: !$ a mediana das alturas de exemplares dessa planta com 10 meses de idade é !$ \tilde {x} = 200 cm !$. Considere que !$ X^+ !$ e !$ X^- !$representam, respectivamente, as quantidades desses exemplares com alturas maiores ou iguais a 200 cm e com alturas menores que 200 cm; e que !$ X= !$ mínimo !$ \lbrace X^+, X^- \rbrace . !$

Com base nas informações apresentadas, julgue o próximo item acerca do teste dos sinais.

Se a afirmação da hipótese nula for verdadeira e se !$ n !$ for ímpar, então

!$ P(X=i) = {n \choose i} {1 \over 2^{n-1}} !$

para !$ i = 0,1, ..., {n - 1 \over 2}. !$

Para estimar a resistência elétrica média de certo material, foram realizadas 20 medições independentes, registrando-se, para cada medição !$ i !$, o valor correspondente da resistência elétrica !$ x_i !$. A resistência média observada a partir dessa amostra aleatória simples foi 12,5 Ohms e o desvio padrão amostral foi igual a 1,5 Ohms. Supondo que a resistência elétrica !$ X !$ siga uma distribuição normal com média !$ \mu !$ e desvio padrão !$ \sigma !$, ambos desconhecidos, e considerando que !$ P(T \le 2,09) = 0,975 !$, em que !$ T !$ é uma variável aleatória da distribuição !$ t !$ de Student, com 19 graus de liberdade, julgue o item que se segue.

A estimativa pontual de máxima verossimilhança para o desvio padrão populacional é inferior a 1,5 Ohms e essa estimativa é viciada (ou tendenciosa).

Para estimar a resistência elétrica média de certo material, foram realizadas 20 medições independentes, registrando-se, para cada medição !$ i !$, o valor correspondente da resistência elétrica !$ x_i !$. A resistência média observada a partir dessa amostra aleatória simples foi 12,5 Ohms e o desvio padrão amostral foi igual a 1,5 Ohms. Supondo que a resistência elétrica !$ X !$ siga uma distribuição normal com média !$ \mu !$ e desvio padrão !$ \sigma !$, ambos desconhecidos, e considerando que !$ P(T \le 2,09) = 0,975 !$, em que !$ T !$ é uma variável aleatória da distribuição !$ t !$ de Student, com 19 graus de liberdade, julgue o item que se segue.

A probabilidade de que !$ \mu !$ seja maior do que o limite superior do intervalo de confiança é de 5%.

Para estimar a resistência elétrica média de certo material, foram realizadas 20 medições independentes, registrando-se, para cada medição !$ i !$, o valor correspondente da resistência elétrica !$ x_i !$. A resistência média observada a partir dessa amostra aleatória simples foi 12,5 Ohms e o desvio padrão amostral foi igual a 1,5 Ohms. Supondo que a resistência elétrica !$ X !$ siga uma distribuição normal com média !$ \mu !$ e desvio padrão !$ \sigma !$, ambos desconhecidos, e considerando que !$ P(T \le 2,09) = 0,975 !$, em que !$ T !$ é uma variável aleatória da distribuição !$ t !$ de Student, com 19 graus de liberdade, julgue o item que se segue.

Os limites do intervalo de confiança simétrico de 95% para a média !$ \mu !$ são !$ 12,5 - { 3,135 \over \sqrt {19}} !$ e !$ 12,5 + { 3,135 \over \sqrt {19}}. !$

Determinada empresa de transporte rodoviário de passageiros oferecerá uma nova linha de ônibus. Sabe-se que o tempo de duração − T − de uma viagem entre a origem e o destino final dessa linha é uma variável aleatória normal com desvio padrão populacional !$ \sigma !$ = 20 minutos. O valor médio populacional !$ \mu !$ da variável T é desconhecido. Uma amostra aleatória simples de 16 tempos de duração de viagens, nessa mesma linha, produziu um tempo médio amostral !$ \overline {T} !$!$ = 250 !$ minutos. Deseja-se testar as hipóteses !$ H_0 : \mu = 240 !$versus !$ H_1 : \mu \, \ne \, 240 !$ , em que !$ H_0 !$ e !$ H_1 !$ são as hipóteses nula e alternativa, respectivamente. Com base nessas informações e considerando !$ \Phi (1,96) = 0,975 !$ e !$ \Phi (2,58) = 0,995 !$, em que !$ \Phi !$ representa a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão, julgue o item a seguir.

Se o nível de significância for de 5%, a conclusão do teste será aceitar a hipótese nula.

Determinada empresa de transporte rodoviário de passageiros oferecerá uma nova linha de ônibus. Sabe-se que o tempo de duração − T − de uma viagem entre a origem e o destino final dessa linha é uma variável aleatória normal com desvio padrão populacional !$ \sigma !$ = 20 minutos. O valor médio populacional !$ \mu !$ da variável T é desconhecido. Uma amostra aleatória simples de 16 tempos de duração de viagens, nessa mesma linha, produziu um tempo médio amostral !$ \overline {T} !$!$ = 250 !$ minutos. Deseja-se testar as hipóteses !$ H_0 : \mu = 240 !$versus !$ H_1 : \mu \, \ne \, 240 !$ , em que !$ H_0 !$ e !$ H_1 !$ são as hipóteses nula e alternativa, respectivamente. Com base nessas informações e considerando !$ \Phi (1,96) = 0,975 !$ e !$ \Phi (2,58) = 0,995 !$, em que !$ \Phi !$ representa a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão, julgue o item a seguir.

O teste de hipóteses em questão é monocaudal à esquerda.

Determinada empresa de transporte rodoviário de passageiros oferecerá uma nova linha de ônibus. Sabe-se que o tempo de duração − T − de uma viagem entre a origem e o destino final dessa linha é uma variável aleatória normal com desvio padrão populacional !$ \sigma !$ = 20 minutos. O valor médio populacional !$ \mu !$ da variável T é desconhecido. Uma amostra aleatória simples de 16 tempos de duração de viagens, nessa mesma linha, produziu um tempo médio amostral !$ \overline {T} !$!$ = 250 !$ minutos. Deseja-se testar as hipóteses !$ H_0 : \mu = 240 !$versus!$ H_1 : \mu \, \ne \, 240 !$, em que !$ H_0 !$ e !$ H_1 !$ são as hipóteses nula e alternativa, respectivamente. Com base nessas informações e considerando !$ \Phi (1,96) = 0,975 !$ e !$ \Phi (2,58) = 0,995 !$, em que !$ \Phi !$ representa a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão, julgue o item a seguir.

A função poder do teste em questão é

!$ {\beta (\mu) = \Phi { \Bigl (} {240 + \varepsilon - \mu \over 5} }{\Bigr )} !$ !$ {+ \Phi { \Bigl (} {240 - \varepsilon - \mu \over 5} }{\Bigr )}, !$

em que !$ 240 - \varepsilon !$ e !$ 240 + \varepsilon !$ representam, respectivamente, o menor e o maior valores de !$ \overline {T} !$ para os quais a hipótese nula será aceita.

Determinada empresa de transporte rodoviário de passageiros oferecerá uma nova linha de ônibus. Sabe-se que o tempo de duração − T − de uma viagem entre a origem e o destino final dessa linha é uma variável aleatória normal com desvio padrão populacional !$ \sigma !$ = 20 minutos. O valor médio populacional !$ \mu !$ da variável T é desconhecido. Uma amostra aleatória simples de 16 tempos de duração de viagens, nessa mesma linha, produziu um tempo médio amostral !$ \overline {T} !$!$ = 250 !$ minutos. Deseja-se testar as hipóteses !$ H_0 : \mu = 240 !$versus !$ H_1 : \mu \, \ne \, 240 !$ , em que !$ H_0 !$ e !$ H_1 !$ são as hipóteses nula e alternativa, respectivamente. Com base nessas informações e considerando !$ \Phi (1,96) = 0,975 !$ e !$ \Phi (2,58) = 0,995 !$, em que !$ \Phi !$ representa a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão, julgue o item a seguir.

O nível descritivo do teste, ou p-valor, está entre 1% e 5%.